Motivation

• represents a surface as a collection of parametric surface elements
  把一个表面表征为一组parametric surface元素的集合
• 学到的一族从单位方到局部 2-流形的映射，非常类似一个surface 的 atlas 图册
• 每一个3D点最终都可以得到一个2D UV值

overview

• 
• pointcloud基线，是把一个latent shape code输出为一组点
• 本篇方法，额外输入一个从均匀单位方内采样的2D坐标点，用其来产生surface上的一个single point
  • 从点云/数据中学出这种2-manifold（i.e. two-dimensional manifolds，二维流形）的parameterization
  • 属于parametric approaches 分支
  • ==这里本质上就是一个从二维均匀分布到空间二维流形分布的映射，condition on一个shape code==
• 很容易扩展多次，来把一个3D shape表征为几个surface 元素的联合

局部参数化表面的生成 locally parameterized surface generation

• 把surface看做一个广义的2-manifold（允许self-intersection & disjoint sets），考虑局部的参数化
  consider a 2-manifold \(\mathcal{S}\), a point \(\boldsymbol{p} \in \mathcal{S}\), a parameterization \(\varphi\) of \(\mathcal{S}\) in a local neighborhood of \(\boldsymbol{p}\)
• 假定这个局部参数化就是从单位方 \([0,1]^2\) 到2-manifold \(\mathcal{S}_{\theta}\) 的映射 \(\varphi_{\theta}(x)\) : \(\mathcal{S}_\theta=\varphi_{\theta}([0,1]^2)\)
  让\(\mathcal{S}_{\theta}\)去估计/近似局部2-manifold \(S_{loc}\)
• i.e.寻找 参数 \(\theta\) 来最小化目标函数 \(\underset{\theta}{\min}\mathcal{L}(\mathcal{S}_\theta,\mathcal{S}_{loc})+\lambda\mathcal{R}(\theta)\)
  上式的 \(\mathcal{L}\) 是两个2-manifold之间的loss，\(\mathcal{R}\)是参数\(\theta\)的正则化项；
  实践中，计算的不是两个2-manifold之间的loss，而是这两个2-manifold采样出的点集的chamfer 和 earth-mover距离
• 证明了MLP+ReLU就可以产生2-manifolds
• 证明了MLP+ReLU产生的2-manifolds can be learned to 很好地近似 target 2-manifolds
  用了universal representation theorum：
  Approximation capabilities of multilayer feedforward networks. Neural Networks, 1991

related work: learning representations for 2-manifolds

• polygon mesh
• 建立一套3D shape和2D domain之间的连接是几何处理的一个存在已久的问题，它的应用有：texture mapping, re-meshing, shape correspondance
• 过去的方法需要input data就是parameterized；本篇直接从点云中学出这种parameterization