Motivation

• 目前这些输入点云deep implicit field学surface的方法，optimizing时，精确、鲁棒的重建仍然非常有挑战性
• 本篇提出用等值面上的点作为一个额外的显式表征；被计算、更新on-the-fly，有效提高收敛率和最终质量

overview

• 目标：给定一个neural implicit function $f_t(\boldsymbol{\rm p};\theta_t)$ at t-th iteration，efficiently generate and utilize 一组稠密的、均匀分布的iso-points (points at zero level set)
  • 这组iso-points可以用于
    • 改进training data的sampling
    • 提供最优化时的regularization

iso-surface sampling：如何得到iso-surface上均匀分布的点

• 
• projection：projecing a point onto the iso-surface 可以被视作 在一个给定点用牛顿法估计一个方程的根
  • 考虑这里和贾奎那篇analytic marching算法初始找到表面上一个点的思路是很像的
  • 给定隐函数$f(\boldsymbol{\rm p}): \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$，初始点$\boldsymbol{\rm q}0\in\mathbb{R}^3$
    牛顿法求根：$\boldsymbol{\rm q}{k+1}=\boldsymbol{\rm q}_{k}-J_f(\boldsymbol{\rm q}_k)^+ f(\boldsymbol{\rm q}_k)$, where $J_f(\boldsymbol{\rm q}_k)^+$是Jacobian的Moore-Penrose 伪逆
  • $J_f$是一个row 3-vector，所以$J_f(\boldsymbol{\rm q}_k)^+ = \frac {J_f^{\top}(\boldsymbol{\rm q}_k)} {\lVert J_f(\boldsymbol{\rm q}_k) \rVert^2}$, where $J_f(\boldsymbol{\rm q}_k)$ 可以直接通过反向传播计算
  • 不过，由于一些同时代的工作常采用sine activation functions或者positional encoding，SDF噪声很大，梯度高度non-smooth，直接使用牛顿法会导致overshooting和oscillation
  • 当然可以用一些更精致的line search算法，不过这里直接用简单的clipping操作
  • 点$\mathcal{Q}t$集合的初始化：刚开始就用一个unit sphere shape初始化，后面用$\mathcal{Q}{t-1}$初始化
  • 最大10个牛顿迭代，停止阈值从$10^{-4}$逐渐缩小到$10^{-5}$
• uniform resampling
  • 迭代地把点从high-density regions移开
  • 这步和f没有关系了，移开的方向都是由邻居点定义的
• upsampling
  • 基于 EAR (edge-aware resampling)
    • Edge-aware point set resampling, SIGGRAPH Asia 2013

results