Review

• 深入体素采样过程；
• 看似简单的修改，实则在数学证明上下足了功夫，改进了体素采样过程

Resource

• 对第 3 章的理解笔记 [jupyter notebook]

Motivation

• 
• nerf 的形状由 generic 的 density function 来表达，而且存在任意的 level set，形状非常粗糙、低分辨率
• 让 nerf 的用上高质量的 SDF 的形状表达
• task；做了什么：
  • 从多视角的无 mask 图像中三维重建物体表面、材质
  • 改进 volume rendering 中的几何表达与重建
  • 通过将 density 建模为 geometry 的函数

对 nerf 的魔改

将 volume density \(\sigma(x)\) 建模为一个 learnable 的 SDF 的变换：

• \(\sigma(x) = \alpha \Psi_{\beta}(-\text{SDF})\)
  • 式中，\(\alpha, \beta >0\) 都是 learnable 参数， \(\Psi_{\beta}(s)\) 为 zero-mean, \(\beta\)-scale 的拉普拉斯分布的 CDF 函数：

    \[\Psi_{\beta}(s)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}\exp\left(\frac{s}{\beta}\right) & & \text{if} \; s \leq 0 \\ 1-\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{s}{\beta}\right) & & \text{if} \; s > 0 \end{array} \right. \]

    • 当 \(\beta \rightarrow 0\) 时，\(\Psi_{\beta}\) 退化到一个简单的 1/0 inside/outside indicator
  • 直觉上说，这个 density \(\sigma\) 建模了一个同质固体，带有常数 density \(\alpha\)，并且 density 靠近边界时均匀平滑衰减，衰减平滑程度由 \(\beta\) 决定
• 好处：
  • 为表面的几何形状带来了一个有用的 inductive bias，相比于过去任意零值面
  • \(\sigma(x) = \alpha \Psi_{\beta}(-\text{SDF})\) 的定义 facilitates a ==bound== on the error of the opacity；以往这样的 bound 是不会自动出现的
    • ❓ 这个 bound 指 \(\alpha\) ？

渲染过程（回答了为什么这样设计 density）

• 体素渲染的本质就是(is all about) 估计 沿着相机射线上的辐射亮度(radiance)的积分，其中有两个重要的量：

  • 体素不透明度 volume’s opacity \(O\)，或者其等价量 透明度 transparency \(T\)
  • 光场 light field \(L\)

• 透明度代表着对于任意 \(t \geq 0\) ，光子成功穿过 segment \([\mathbf{c}, \mathbf{x}(t)]\) 而不 弹回被吸收¹ 的概率\(T(t)=\exp\left( -\int_{0}^{t} \sigma(x(s))\rm{d}s \right)\)

• 而不透明度就是 \(O(t)=1-T(t)\)

  • \(O(t)\)是一个单调递增函数，\(O(t)=0\)，如果假设每条射线最终都被遮挡的话，\(O(\infty)=1\)；
  • 在这种意义上，可以把 \(O\) 视作一个 CDF/概率分布函数，而 \(\tau(t)=\frac{\rm{d}O}{\rm{d}t}(t)=\sigma(x(t))T(t)\) 即为其 PDF/概率密度函数

• 因此，体素渲染过程即为一条射线上的 期望像素

  • \(I(\mathbf{c}, \mathbf{v}) = \int_0^{\infty} L(\mathbf{x}(t), \mathbf{n}(t), \mathbf{v}) \;\; \tau(t)\)
  • 光场 \(L\) 函数之所以额外加了 法向量 \(\mathbf{n}\) 作为条件输入，是考虑到常见材质的 BRDF 一般依赖于表面法向量 \(\mathbf{n}\)
  • ❓ Q：为什么是这样的
    • A：来自体图形学发光-吸收模型的基本公式；这里的 \(L\) 函数为预乘了 \(\alpha\) 的颜色值

采样过程（利用 opacity 的 error bound 进行采样）

将积分式 \(I(\mathbf{c}, \mathbf{v}) = \int_0^{\infty} L(\mathbf{x}(t), \mathbf{n}(t), \mathbf{v}) \;\; \tau(t)\) 近似为加和式 \(\sum_{i=1}^{m-1} \hat{\tau}_i L_i\)​

• \(\hat{\tau}_i \approx \tau(s_i) \Delta s\)​​​​​，近似PDF乘以interval length；
  • \(\tau(t)=\frac{\rm{d}O}{\rm{d}t}(t)=\sigma(\mathbf{x}(t))T(t)\)​ -> 就是直接从那个积分定义求导推出来的
• \(L_i=L(\mathbf{x}(s_i), \mathbf{n}(s_i), \mathbf{v})\) 是当前点采样出来的光场

由于 PDF 函数 \(\tau\)​​​ 常常集中于物体边界区域，积分近似采样函数的选择对积分估计的质量有严重影响；一种解决方案就是利用 inverse CDF \(O^{-1}\)做适应性采样（即NeRF的fine sampling）。

diss NeRF做法的问题：

• 单次adaptive sampling / fine sampling不足以产生准确的采样点：使用粗鲁的、naive的\(O\)的近似会导致 sub-optimal 的采样点，会错过或者过度延展不可忽视的（在边界/表面附近）的那些 \(\tau\) 值

error bound 证明

流程

• 从 在任意一个积分segment \([t_i, t_{i+1}]\)​ 中， \(\lvert \frac{d}{ds} \sigma(\mathbf{x}(s)) \rvert\)​ 存在上界
• 推出 在任意一个积分segment \([t_i, t_{i+1}]\) 中， \(\int_{0}^{t} \sigma(\mathbf{x}(s))\) 与离散乘法加法的黎曼和近似积分 的误差存在上界
• 从而推出 在任意一个积分segment \([t_i, t_{i+1}]\) 中， \(O(t)\) 的积分近似误差存在上界（上界为segment终点的无符号距离\(d*\) 与 \(\alpha\)和\(\beta\)的函数）

引理

1. 固定\(\beta\)，设定任意一个 \(\epsilon\)，那么一个充足的采样可以保证 上界<\(\epsilon\)

2. 固定采样点个数，设定任意一个 \(\epsilon\)​，那么一个充分大的 \(\beta\)​ （不小于\(\frac{\alpha M^2}{4(n-1)\log(1+\epsilon)}\)​）可以保证 上界<\(\epsilon\)​

• \(M\)是 \(t\) 采样时候的上界 \(t\in[0,M]\)

依据 error bound 的采样算法

目的：这个采样算法最终能够保证 \(O(t)\)​​ 的积分近似误差不超过设定的 \(\epsilon\)​

流程：

核心目的是通过充足的采样点使得网络自己现在的 \(\beta\)​​​ 就能满足上界 \(<\epsilon\)​，从而得到一个积分误差可控的 \(\hat{O}\) 序列

• 初始化采样：均匀采 \(n=128\)​​​ 个点；然后根据引理2选取一个 \(\beta_+\)​（大于当前 \(\beta\)​） 保证 \(\epsilon\)​​​ 被满足
• 迭代最大5次上采样点，直到采样足够充足使得网络现在的 \(\beta\) 就能够满足上界\(<\epsilon\)​；（如果5次上采样以后还是不行，就选取最后一次迭代的那个\(\beta_+\)，而不是现在网络自己的\(\beta\)）
  • 为了能够减小 \(\beta_+\)，同时保证 \(\epsilon\) 被满足，上采样添加 \(n\) 个采样点
    • 每个 区间采的点的个数和该区间当前 error bound 值成比例
  • 由均值定理，区间\((\beta, \beta_+)\)中一定存在一个\(\beta_*\)刚好让 error bound 等于 \(\epsilon\)​
    • 所以用二分法（最大10个迭代）来找这样的一个\(\beta_*\)​​来更新 \(\beta_+\)​
• 用最后的上采样点和选取的\(\beta\)​ 来估计一个 \(\hat{O}\)​ 序列
• 用估计出来的 \(\hat{O}\) 序列来 inverse CDF 采样一组（\(m=64\)​） fresh new 的点来算 \(\hat{O}\)
  • 🤔 笔者：为什么不用前面算法自己得到的所有点的 \(\hat{O}\) 并用于后面的volume render？因为显存无法支持呀！这个算法本身计算都是在 with torch.no_grad() 中包裹的，不保留梯度所以没什么显存占用；最后输出的64个点要用于volume render计算，全程保留梯度；每条射线64个带梯度的点显存占用就已经非常大了

效果

• 
  • orange: estimated opacity
  • blue: true opacity
  • black: SDF
  • yellow dots：采样点举例
  • ref：true opacity error
  • faint red：error bound
• 
  • 每条 ray 的误差的 heat map

训练：

• （和IDR设定一样）geometry 网络输出SDF与256维feature
• “light field” 网络 \(L(\mathbf{x}, \mathbf{n}, \mathbf{v}, \mathbf{z})\)
• 实际上 \(\alpha\) 就是 \(\beta^{-1}\)，网络自己学的只有 \(\beta\)​​
• 一个 batch 1024 个像素

Loss：

RGB L1 loss 与 SDF 法向量的 eikonal 正则（权重为0.1）

Implementation

Dataset

• DTU
• BlendedMVS：
  • 📍 能直接整体学，不像UNISURF或者NeuS那样需要额外的 NeRF++ 背景模型
  • 见训练细节一节，还是用了NeRF++的背景设定

Camera

• 这里可以仔细看看是怎么做的；最终保证一个r=3的包络球

训练细节

• geometry：8层，256，第4层skip connetction；
  • geometric initialization
• light field：4层，256 + 最后一层 sigmoid 激活
• 初始 \(\beta=0.1\)​​
• 射线的far值设定为\(M=2r\)
• 学习率 5e-4 指数衰减到 5e-5；
• DTU每个训练100k个迭代；blendedMVS每个训练200k个迭代
• 关于背景：
  • 为了满足所有的rays（包括那些不和任何表面相交的rays）最终都是occluded（\(O(\infin)=1\)​）的假设
  • DTU这种简单一些的数据集：
    • 把SDF建模为： \(d_{\Omega}(\boldsymbol{x})=\min\{d(\mathbf{x}), r-\lVert x \rVert_2)\}\)​​​
      • \(r\)​​​ 是 scene 的 bounding sphere，比如作者他们用的把相机都包裹在半径为3.0的球里；
      • 向外延伸时，背景的距离值会重新下降甚至变为负数；完全等价于在r=3的半径又放了一个外翻的球面（r<3是外，r>3是里）
    • 渲染时，最大的深度为 \(2r\)​；这意味着 far 值为6.0；​
  • blendedMVS这种复杂背景数据集：
    • 把 \(r\)​​ 外部的volume用类似NeRF++的参数化方式；32个点，均匀\(1/r\)采样；