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Basic maths for [shapes] as [spatial surfaces]

[形状] 视作 空间曲面 的基本数学


math: implicit surface

surface: implicit form & parametric form

  • 一个球面形状的隐式形式和参数化形式:implicit form & parametric form
    https://longtimenohack.com/posts/neural-surfaces/basic-maths/image-20201207201258315.png
  • implicit的形式无法直接通过其生成点,但是一般可以通过test来判断点在object内还是object外,对于ray-tracing非常友好
    • https://longtimenohack.com/posts/neural-surfaces/basic-maths/image-20201207204020330.png
  • parametric的形式可以直接通过其生成surface上的点,对于OpenGL等方法很有帮助
    • https://longtimenohack.com/posts/neural-surfaces/basic-maths/image-20201207204043660.png

形状(geometry) 与 拓扑(topology)

  • 如果用mesh的数据结构来理解拓扑:
    • 同形状代表相同的顶点位置和连接关系;同拓扑代表相同的顶点连接关系
    • 若顶点之间的连接关系不变,可以通过顶点位移变化出的几个形状,互相之间是同拓扑的
      • 如甜甜圈和咖啡杯
    • 拓扑不同的形状,只要顶点之间的连接关系保持不变,怎么位移顶点都无法得到
    • 当然,上述的“位移顶点位置”是一个粗糙的描述,具体在形变时是要符合一定规则的,即【光滑同胚/微分同胚】 [bilibili视频:斯梅尔悖论:内翻球面和外翻球面是微分同胚的 ]

manifold流形,chart卡(坐标卡),atlas图册

  • homeomorphism同胚
    • 同胚是两个topological space拓扑空间之间的函数
    • a function \(f: X \rightarrow Y\) between two topological spaces is a homeomorphism if:
      • \(f\) is a bijection (i.e. one-to-one and onto)
        \(f\) 是一个双射,i.e.单射且满射
      • \(f\) is a continuous function
      • the inverse function \(f^{-1}\) is continuous
    • e.g. 咖啡杯和甜甜圈这两个拓扑空间同胚
  • manifold流形, chart坐标卡,parameterization参数化
    • 流形是一个拓扑空间
    • 2-manifold(two-dimensional manifold)二维流形的定义:
      • a subset \(\mathcal{S}\) of \(\mathbb{R}^3\) is a 2-manifold if
        • for every point \(\boldsymbol{p}\in\mathcal{S}\)
          there is an open set \(V\) in \(\mathbb{R}^2\) and an open set \(W\) in \(\mathbb{R}^3\) containing \(\boldsymbol{p}\)
          such that \(U=\mathcal{S} \cap W\) is homeomorphic to \(V\)
        • 对于 \(\mathcal{S}\) 中的任意一个点 \(\boldsymbol{p}\), 都存在 [\(\mathbb{R}^2\) 中的一个开集 \(V_{欧式空间中的一个开子集}\)] 和 \({[\mathbb{R}^3中的包含点\boldsymbol{p}的一个开集W}]\)
          使得 \({[\mathcal{S}和W的交集U]}\) (\(\mathcal{S}\) 的一个包含点 \(\boldsymbol{p}\) 的开子集) 与 \(V_{欧式空间的一个开子集}\) 同胚
        • 这个同胚记为 \(\varphi: U \rightarrow V\),有序对 \((U,\varphi)\) 叫做包含 \(p\) 的坐标卡
    • 人话
      • \(S\) 的一个开子集和欧式空间的一个开子集同胚,那么 \(S\) 就是一个流形
      • \(S\)的一个开子集到欧式空间的开子集的同胚叫做chart坐标卡
      • 坐标卡的逆(从低维欧式空间的开子集 到 \(S\)的一个开子集的同胚)叫做parameterization参数化
    • manifold理解:局部区域线性,与(低维)欧式空间拓扑同胚
    • “自由度”的理解:
      一个m维空间的中的曲线/曲面有n个自由度,其实严格数学定义指的是这个曲面/曲线是一个n维流形,与某一个n维欧式空间(局部)同胚
  • chart卡/坐标卡
    • 坐标卡是一个同胚,一个函数,一个映射。
    • A chart for a topological space M is a homeomorphism \(\varphi\) from an open subset U of M to an open subset of a Euclidean space.
      一个拓扑空间的坐标卡,就是这个拓扑空间的一个开子集到一个欧式空间的开子集的同胚
    • the chart is traditionally recorded as the ordered pair \((U,\varphi)\)
      坐标卡一般用有序对\((U,\varphi)\)表示
  • parameterization参数化
    • 参数化是一个同胚,一个函数,一个映射
    • chart坐标卡的逆映射就是参数化:从一个欧式空间的开子集到拓扑空间的开子集的同胚
    • 举例:
      • NeRF++中,显式手动建立了一种从欧式空间到球面坐标(4维,x,y,z定义方向,r定义球内球外)的映射,其本质就是一个从3维欧式空间到一个4维拓扑空间的同胚,一种参数化
      • AtlasNet中,隐式地学出了一种从2维单位均匀分布到空间中一个物体表面局部patch的坐标的映射,其本质就是一个从2维欧式空间到一个3维拓扑空间(3维中的一个曲面)的同胚,一种参数化
      • 在代数几何/计算机视觉中,一个平面曲线的参数化,本质就是从一个1维欧式空间(参数的集合)到一个2维拓扑空间的映射;一个空间曲面的参数化,本质就是从一个2维欧式空间(参数的集合)到一个3维拓扑空间的映射;都是同胚,都是参数化
  • image
    • 像是一个点集。
    • \(f\)是一个从定义域\(X\)到值域\(Y\)的一个函数
    • image of an element If x is a member of X, then the image of x under f, denoted f(x), is the value of f when applied to x.
    • image of a subset the image of subset \(A \subseteq X\) under f, denoted \(f[A]\) is the subset of Y which can be defined as:
      \(f[A] = \{f(x) \vert x \in A\}\)
      when there is no risk of confusion, \(f[A]\) is simply written as \(f(A)\)
    • inverse image / preimage原像:
      the preimage or inverse image of set \(B \subseteq Y\) under f , denoted by \(f^{-1}[B]\), is the subset of X defined by
      \(f^{-1}[B]=\{x\in X \vert f(x) \in B\}\)
  • atlas图册
    • 图册是一族坐标卡,一族同胚,一族函数,一族映射
    • a index family \(\{(U_\alpha,\varphi_{\alpha}):\alpha \in I \}\) of charts on M which covers M (that is, \(\cup_{\alpha \in I} U_{\alpha}=M\))
    • 流形M上的一个图册是: 一族M上的卡\(\mathcal{A}=\{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\}\) ,使得定义域盖住了整个M
  • disk-topology圆盘拓扑
    • disk, also spelled as disc
      • the region in a plane bounded by a circle
      • 在cartesian coordinates下的:open disk
        \(D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x-a)^2+(y-b)^2
      • closed disk
        \(D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: (x-a)^2+(y-b)^2 \leq R^2\}\)
    • a surface homeomorphic to a disc in a plane

algorithms

marching cubes [explain]

losses

  • chamfer loss / chamfer distance (CD)
https://longtimenohack.com/posts/neural-surfaces/basic-maths/image-20201208012017960.pnghttps://longtimenohack.com/posts/neural-surfaces/basic-maths/image-20201208012035153.png
  • Earth Mover Distance (EMD)
    • Sinkhorn 近似

implicit form / implicit field 与 parametric form 之间的转换

  • affine space 仿射空间
  • projective space 射影空间
    • 射影空间是齐次坐标系
  • multiplicity 重数
  • rational function 有理函数(多项式加减乘除,只在有限个点没有定义)
  • monoid, monoidal 幺半群 / 单位半群 / 具幺半群 / 独异点
    • 幺半群是一个带有二元运算 *: M × MM 的集合 M ,其符合下列公理:
      • 结合律:对任何在 M 内的abc , (a*b)*c = a*(b*c) 。
      • 单位元:存在一在 M 内的元素e,使得任一于 M 内的 a 都会符合 a*e = e*a = a
    • 通常也会多加上另一个公理:
      • 封闭性:对任何在 M 内的 aba*b 也会在 M 内。
      • 但这不是必要的,因为在二元运算中即内含了此一公理。
    • 幺半群除了没有逆元素之外,满足其他所有的公理。因此,一个带有逆元素的幺半群和群是一样的。
  • monoidal surfaces 独异点曲面
    • an algebraic(polynomial) surface \(f(x,y,z)=0\) of degree n that has an \((n-1)-fold\) point (a point of multiplicity n-1)
      一个有n-1重点的n次代数曲面(线)即为一个monoidal curve
    • monoidal surfaces include:
      • quadrics 二次曲面
      • cubic surface with a double point 有二重点的三次曲面
      • quartic surface with a triple point 有三重点的四次曲面
      • etc.
  • parameterization: implicit -> parametric
    • ==本质==
      • 这里的参数化,和拓扑学中的参数化,是一回事:从一个欧式空间到一个拓扑空间的同胚(映射)
    • curve
      • Noether’s theorem
        A plane algebraic curve f(x,y)=0 possesses a rational paramtric form iff f has genus 0
    • surface
      • 没有已知的通用工具来判断一个给定的implicit surface是否可以被参数化,以及if so, how
    • monoidal curves/ surfaces can be parameterized in a simple manner
    • 参数化时常用方式:parameterization using a pencil of lines
      • pencil
        • in geometry, a pencil is a family of geometric objects with a common property
        • a pencil of lines through a point p is a set of lines each containing p
      • Bezout's Theorem 贝组定理
        • Let \(\mathcal{C}\) and \(\mathcal{D}\) be projective plane curves without common components and degrees n and m, respectively. Then
          \(n \cdot m = \underset{P \in \mathcal{C} \cap \mathcal{D}}{\sum} mult_P(\mathcal{C},\mathcal{D})\)
        • 即:在考虑重数设定的前提下,两个分别次数为n和m的仿射空间代数曲线(也可以是射影空间),二者要么有共同项,要么没有共同项且相交mn次(相交点的重数和为mn)
      • 因此,对于monoidal curves/surfaces来说,只要让a pencil of lines共同经过那个(n-1)重点,则这些直线一定与曲线/曲面还剩一个交点,如此便可实现参数化
让直线束经过二次曲线的一个"一重点"来参数化让直线束经过三次曲线的一个二重点来参数化
https://longtimenohack.com/posts/neural-surfaces/basic-maths/image-20201209091156318.pnghttps://longtimenohack.com/posts/neural-surfaces/basic-maths/image-20201209091136948.png
  • a rational parameterization of a surface in affine (x,y,z)-space corresponds to a polynomial parameterization of the same surface in projective (w,x,y,z)-space
    一个曲面在(x,y,z)-仿射空间的有理参数化 对应 同样曲面在(w,x,y,z)-射影空间的多项式参数化
  • implicitization: parametric -> implicit
    • all curves and surfaces with a rational parametric form can be converted to implicit form
    • elimination algorithm, resultant, etc.

representation for shapes

  • 现有的形状表征模型:(a) voxel, (b) pointcloud, (c) mesh, (d) implicit field (occupancy, SDF, inside/outside, etc.) (e) parametric patches.
    本篇笔记主要考虑implicit field与parametric patches.
  • https://longtimenohack.com/posts/neural-surfaces/basic-maths/image-20201203153023230.png