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  • MIT Continuum Mechanics 连续介质力学 课程笔记，Chapter 2
    • 重要参考资料：非常详尽、非常严谨、非常简洁明了，与线代知识紧密接续
• 虽然属于连续介质力学中的内容，但本篇同MIT笔记的第2章一样，本篇只讨论变形相关的几何本身，而不涉及变形的cause成因，不涉及材料的组成材料等，只把物体假设为一般的continuum连续介质来讨论其变形的几何。

basics

• 两个向量的dot product点积
  • \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)
• 两个向量的vector product向量积；叉乘
  • \(\vec{a} \times \vec{b}\)
• 两个向量的tensor product张量积
  • \(\vec{a} \otimes \vec{b}=\vec{a} \vec{b}^{\top}\)
  • e.g. \(\underset{3 \times 1}{\vec{a}} \otimes \underset{3 \times 1}{\vec{b}} = \underset{3 \times 1}{\vec{a}} \quad \underset{1 \times 3}{\vec{b}^{\top}} = \underset{3 \times 3}{C}\)
• 正交矩阵 -> 复数域推广 酉矩阵
• 实对称矩阵 -> 复数域推广 艾尔米特矩阵
• 矩阵的平方根
• 矩阵的极分解
• 矩阵的对数
  • 实对称矩阵的对数矩阵的表达：
    • \(\ln{\boldsymbol {\rm U}}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \ln{\lambda_i} \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right)\)

deformations

• deformation：形变
  • 考虑一个物体（只需要是continuum，连续介质），其中一个particle粒子 \(x\in \mathcal{R}_0\)，属于reference/undeformed configuration参考物体空间 \(\mathcal{R}_0\)
  • 考虑物体变形以后，粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)的新位置：\(\boldsymbol {\rm y} \in \mathcal{R}\)，属于deformed configuration 变形后的物体空间 \(\mathcal{R}\)
  • 从 reference configuration 到 deformed configuration的 deformation 形变定义为一个映射：
    • \(\boldsymbol {\rm y}=\hat{\boldsymbol {\rm y}}(\boldsymbol {\rm x})\)
    • takes \(\mathcal{R}_0 \rightarrow \mathcal{R}\)
  • displacment vector field \(\hat{u}(x)\) 定义为
    • \(\hat{\boldsymbol {\rm u}}(\boldsymbol {\rm x})=\hat{\boldsymbol {\rm y}}(\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm x}\)
  • 

Deformation Gradient Tensor 形变梯度张量: deformation in the neighborhood of a particle 在一个粒子邻域中的变形

• deformation gradient tensor 形变梯度张量
  • 为了考虑物体在粒子x处的state of stress应力状态等，需要考虑不仅在x处的变形，还要考虑粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)的一个small neighborhood小邻域中的all particles所有粒子的变形
  • 直觉上讲：我们期望在这个局部小邻域球中的粒子经历的变形由rigid translation刚体平动、rigid rotation刚体旋转 和 "straining" “应变"组成；在后面将会准确公式化表述
  • 在一个generic粒子x处的 deformation gradient tensor形变梯度张量定义为：
    • \(\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})={\rm Grad} \; \boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)
    • 这是用于描述、研究在邻域中的变形的主要量
    • \(\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)是一个2-tensor，它的元素为：
      • \(F_{ij}(\boldsymbol {\rm x})=\frac{\partial y_i(\boldsymbol {\rm x})}{\partial x_j} \)
      • 是一个3x3矩阵场 \([F(\boldsymbol {\rm x})]\)
• 一个infinitesimal material fiber无穷小 物质 纤维的deformation
  • 考虑两个在reference configuration中放置于\(\boldsymbol {\rm x}\)和\(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)处的两个粒子p, q；
  • 考虑包含这两个粒子的infinitesimal material fiber无穷小 物质 纤维：\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)
  • 在deformed configuration中，这两个粒子位于\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)和\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x})\)处
  • 则这个infinitesimal material fiber的deformed image 像（代数中的概念）用如下 向量 描述
    • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)
  • 由于这两个粒子p,q是相邻的，距离\(\lVert {\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rVert\)很近，因此可以用Taylor expansion泰勒展开来近似该表达式
    • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\left( {\rm Grad} \; \boldsymbol {\rm y} \right ) {\rm d}\boldsymbol {\rm x} + {\rm O}(\lVert {\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rVert^2) = \boldsymbol {\rm F} \; {\rm d}\boldsymbol {\rm x} + {\rm O}(\lVert {\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rVert^2)\)
    • 即近似为：
      • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)
    • 其组分为：
      • \({\rm d}y_i=\underset{j}{\sum} F_{ij} {\rm d}x_j\) or \(\{y\}=[F]\{x\}\)
    • 注意，这个近似并不需要假设梯度场的变化小；它只需要假设p和q挨得足够近
    • 即：\(\boldsymbol {\rm F}\) 把 无穷小未变形物质纤维\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\) carries into带到了它在变形configuration中的位置\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}\)处
  • 
• \(\boldsymbol {\rm F}\)应具有的一些假设
  • 行列式不为0
    • 考虑一个物理上可实现的变形：单个物质纤维不会裂变为两个物质纤维；两个不同的物质纤维不会合并为同一个物质纤维
    • 即，\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)需要是一个one-to-one一一映射，即\(\boldsymbol {\rm F}\)需要是 non-sigular非奇异矩阵：
      • \(J=\det \boldsymbol {\rm F} \neq 0\)
      • \(J\)也叫做 Jacobian determinant 雅克比行列式
  • 行列式为正值
    • 考虑三个独立物质纤维\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(i)}, i=1,2,3\)
    • 变形场 把这些纤维带到了3组位置：\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(i)}=\boldsymbol {\rm F} {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(i)}, i=1,2,3\)
    • 如果这个变形把右手组合纤维\(\{ {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(2)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(3)} \}\)带到了右手组合纤维\(\{ {\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(2)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(3)} \}\)，则称这个变形被称作是preveserves orientation 定向保留的
      • 这里的orientation是群论/向量空间中的概念：定向；其实反映的是一种类似手性的概念，orientation preserving即意味着手性得到保留；
      • 镜射变换，手性就不保留；
    • 一个变形是orientation preserving的，当且仅当行列式大于0：
      • \(J=\det \boldsymbol {\rm F} \gt 0\)
    • 
• 变形的正式表述
  • 如上，一个粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)一般的邻域粒子\(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)的变形正式表述为：
    • \(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})+\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)
    • 因此，想要描述粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)的整个邻域的变形特征，就必须知道变形函数\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)和变形梯度张量\(\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)
      • 变形函数\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)刻画的是邻域粒子的平动
      • 变形梯度张量\(\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)刻画的是旋转和"应变”

特殊形变：一些均匀变形：纯拉伸，简单剪切变形

• homogeneous deformation 均匀变形

  • 如果一个变形的变形梯度张量在整个ref区域\(\mathcal{R}_0\)都是常量，那么这个变形\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)就是一个homogeneous deformation
  • 因为变形梯度张量是一个常量，因此这种变形可以有如下表述：
    • \(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm x} + \boldsymbol {\rm b}\)
    • 其中，\(\boldsymbol {\rm F}\)是一个常张量，\(\boldsymbol {\rm b}\)是一个常向量
    • 这其实就是一个一般的仿射变换：平动，旋转，缩放，剪切

• 假设\(\{\boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\}\) 是ref的orthonormal basis 标准正规基底；假设基底和一个单位cube的边对齐，从这个单位方出发进行变形

pure stretch 纯拉伸

• \(\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm x} \qquad where \qquad \boldsymbol {\rm F}=\lambda_1 \boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1 + \lambda_2 \boldsymbol {\rm e}_2 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2 + \lambda_3 \boldsymbol {\rm e}_3 \otimes \boldsymbol {\rm e}_3\)

• 在标准正规基底\(\{\boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\}\)下

  • \(\boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
  • \(\boldsymbol {\rm F}=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}\)
  • \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)代表在3个基底方向上的拉压比率

• 如果\(\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1\)，则是isochoric等容的变形

• pure dilatation 纯膨胀

  • \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3\)

• uniaxial stretch 单轴拉伸

  • \(\lambda_2 = \lambda_3 =1\)
  • \(\boldsymbol {\rm F}=\lambda_1 \boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1 + \boldsymbol {\rm e}_2 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2 + \boldsymbol {\rm e}_3 \otimes \boldsymbol {\rm e}_3 = \boldsymbol{\rm I} + (\lambda_1-1) \boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1\)
  • 在标准正规基底\(\{\boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\}\)下
    • \(\boldsymbol {\rm F}=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
  • 更一般地：
    • \(\boldsymbol {\rm F}= \boldsymbol{\rm I} + (\lambda_1-1) \boldsymbol {\rm n} \otimes \boldsymbol {\rm n}, \qquad \lVert \boldsymbol {\rm n} \rVert=1\)

simple shearing deformation 简单剪切变形

• \(\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm x} \qquad where \qquad \boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I} + k \; \boldsymbol{\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2\)
• 在标准正规基底\(\{\boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\}\)下
  • \(\boldsymbol{\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
  • \(\boldsymbol {\rm F}=\begin{pmatrix} 1 & k & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
• \(\boldsymbol {\rm u}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm x}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm x}-\boldsymbol {\rm x}=k \; \boldsymbol{\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2 \; \boldsymbol {\rm x}=kx_2\boldsymbol {\rm e}_1\)
  • 意味着 \(x_2={\rm constant}\) 平面朝着 \(x_1\) -方向 刚体平动，平动量为 \(kx_2\)
  • 把矩阵\(\boldsymbol {\rm F}\)中出现\(k\)的那个剪切量，行标的方向称为shearing direction剪切方向，列标的方向对应法向量的平面称为shearing/glide plane剪切平面
• 更一般地：
  • \(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I} + k \; \boldsymbol{\rm m} \otimes \boldsymbol {\rm n}, \qquad \lVert \boldsymbol {\rm m} \rVert=\lVert \boldsymbol {\rm n} \rVert = 1, \qquad \boldsymbol {\rm m} \cdot \boldsymbol {\rm n} = 0 \)
  • \(\boldsymbol {\rm m}\)为剪切方向，\(\boldsymbol {\rm n}\)法向量对应的平面为剪切平面

一般形变：研究长度、朝向、夹角、体积、表面的改变

一个物质纤维微元的改变：长度、朝向

• 长度改变比例：\(\lVert \boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert\)
• 新朝向：\(\frac {\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0}{\lVert \boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}\)

两个物质纤维微元的改变：夹角

• 考虑由\(\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)}\)，\(\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)}\)定义的夹角
• 新夹角大小：\(\cos{\theta_y}= \frac {\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)}} { \lVert \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \rVert \lVert \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)} \rVert}\)

一块体积物质微元的改变：体积

• 考虑由\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(2)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(3)}\) 定义的tetrahedron四面体
• 体积改变：\({\rm d}V_y=J {\rm d}V_x \qquad where \qquad J=\det\boldsymbol {\rm F}\)

📌 ⚠️ 一块表面物质微元的改变：面积，平面法向量

• 考虑由\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(2)}\) 定义的parallelogram平行四边形
• 新法向量：\(\boldsymbol {\rm n}=\frac {\boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0 } {\lVert \boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}\)
• 面积变化比例：\({\rm d}A_y={\rm d}A_x \, J \lVert \boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert\)
• 注意：平面法向量一般不继承变形操作
  • 变形后的平面的法向量\(\boldsymbol {\rm n}\)，一般不与 变形前平面法向量\(\boldsymbol {\rm n}_0\)变形后的向量\(\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0\) 平行
  • 变形前与平面垂直的法向量\(\boldsymbol {\rm n}_0\)，在变形后的向量\(\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0\) 一般不与 变形后的平面垂直
  • Q: 有待数学证明
    • 若要使平面法向量 处处 继承变形操作，需要对任意\(\boldsymbol {\rm n}_0\)满足\(\boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0\)与\(\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0\)方向一致；
    • \(\boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0=\alpha \boldsymbol {\rm n}_0\) 对于任意\(\boldsymbol {\rm n}_0\)均成立
    • 意味着\(\boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F}\)是正交矩阵？变形是homogeneous的，而且只包含旋转+等比缩放？

特殊形变：rigid deformation刚性形变

• 刚性形变的定义
  • 物体中的所有对粒子在变形后保持变形前距离
  • i.e. 任意两个粒子\(\boldsymbol {\rm z}\)，\(\boldsymbol {\rm x}\)在变形前在ref configuration中距离为\(\lVert \boldsymbol {\rm z}-\boldsymbol {\rm x} \rVert\)，应与变形后在deformed configuration中距离\(\lVert \boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm z})-\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x}) \rVert\)相等
  • \(\lVert \boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm z})-\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x}) \rVert^2 = \underset{i}{\sum} \left[ y_i(\boldsymbol {\rm z}) - y_i(\boldsymbol {\rm x}) \right] \left[ y_i(\boldsymbol {\rm z}) - y_i(\boldsymbol {\rm x}) \right] = \underset{i}{\sum} (z_i-x_i)(z_i-x_i) \qquad {\rm for \; all \;} \boldsymbol {\rm x},\boldsymbol {\rm z} \in \mathcal{R}_0\)
  • 上式等价于 \(\boldsymbol {\rm F}^{\top}(\boldsymbol {\rm x}) \boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm z})=\boldsymbol {\rm I} \qquad {\rm for \; all \;} \boldsymbol {\rm x},\boldsymbol {\rm z} \in \mathcal{R}_0\)
  • 上式等价于\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)是一个 常量张量 ，且是一个 旋转矩阵（proper orthogonal tensor行列式为1的正交矩阵）

• 结论：刚性形变对应的形变梯度张量是一个常旋转矩阵
  • 记对所有\(\boldsymbol {\rm x} \in \mathcal{R}_0\) ，\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm Q}\)，\(\boldsymbol {\rm Q}\)是一个 旋转矩阵（proper orthogonal tensor行列式为1的正交矩阵）
  • 则刚性形变的形式为：
    • \(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm Q} \boldsymbol {\rm x} + \boldsymbol {\rm b}\)

📌 ​一般形变：形变梯度张量 分解为 旋转矩阵 & stretch tensor

• 先前结论：
  • 形变梯度张量\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)完备地描述了在粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)一个邻域中的变形的特征；
  • 变形的一部分是刚体旋转，另一部分是一种"distortion"/“strain”
• 对形变梯度张量进行polar decomposition 极分解
  • 定理：任何带有正值行列式的非奇异矩阵\(\boldsymbol {\rm F}\)可以被uniquely写作一个proper orthogonal tensor旋转矩阵\(\boldsymbol {\rm R}\)和一个symmetric positive definite tensor实对称正定矩阵\(\boldsymbol {\rm U}\)的矩阵相乘乘积
  • \(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm U}\)
  • \(\boldsymbol {\rm R}\)代表着\(\boldsymbol {\rm F}\)的刚体旋转的部分，\(\boldsymbol {\rm U}\)代表着\(\boldsymbol {\rm F}\)的非旋转的部分
  • \(\boldsymbol {\rm U}\)如此给出：\(\boldsymbol {\rm U}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} }\)
  • \(\boldsymbol {\rm R}\)如此给出：\(\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}^{-1}\)
  • 考虑一个fiber纤维的形变表达式为\({\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow {\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)，也可以写作
    • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\)
    • 即这个纤维可以被看做 首先经过变形\(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)，再经过刚体旋转\(\boldsymbol {\rm R}\)
    • \({\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})={\rm d}\boldsymbol {\rm y}\)
• right stretch tensor右拉伸张量 \(\boldsymbol {\rm U}\) 的性质
  • symmetric对称
    • 有3个实数特征值\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)；
    • 有和3个特征值相对应的三元组orthonormal正规特征向量\(\boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3\)
  • positive definite 正定
    • 3个特征值均为正数
  • 在基底/主方向\(\{ \boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3 \}\) 下的表示
    • \([\boldsymbol {\rm U}]=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}, \qquad \lambda_i \gt 0\)
    • 因此对于 \({\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)，意味着纤维\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\) 被tensor \(\boldsymbol {\rm U}\) 在 \(\boldsymbol {\rm U}\) 的principle directions 被拉伸，拉伸的量取决于每个方向的corresponding eigenvalues相应的特征值
    • 注意：只有在\(\boldsymbol {\rm U}\)的主方向表示\(\boldsymbol {\rm U}\)才是纯拉伸；在一般情况下表示\(\boldsymbol {\rm U}\)，既包含拉伸又包含剪切；不过拉伸的量仍然是由特征值定义；具体见 [strains 应变](#strains 应变) 章节
  • 因为\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)方向一般不与 \({\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\) 平行，因此纤维在进行\({\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)也带有旋转；但这种旋转不是一种刚体旋转，因为纤维的长度也发生了变化
• left stretch tensor左拉伸张量\(\boldsymbol {\rm V}\)
  • 极分解有一种alternative version：
    • \(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm V}\boldsymbol {\rm R}\)
    • \(\boldsymbol {\rm V}\)如此给出：\(\boldsymbol {\rm V}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top} }\)
    • \(\boldsymbol {\rm R}\)如此给出：\(\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm V}^{-1}\boldsymbol {\rm F}\)
    • \(\boldsymbol {\rm R}\)与\(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm U}\)中的\(\boldsymbol {\rm R}\) identical 完全一样
      • \(\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm V}^{-1}\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}^{-1}\)，故有\(\boldsymbol {\rm V}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}\boldsymbol {\rm F}^{-1}\)
  • 一个一般未变形纤维\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)的形变也可以看做
    • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm V}(\boldsymbol {\rm R}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\)
    • 首先经过刚体旋转\(\boldsymbol {\rm R}\)，再经过\(\boldsymbol {\rm V}\)的stretching
  • \(\boldsymbol {\rm V}\)与\(\boldsymbol {\rm U}\)性质相似：
    • 有3个正实数特征值\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)及对应的特征向量 \(\boldsymbol {l}_1, \boldsymbol {l}_2, \boldsymbol {l}_3\)，组成主基底\(\{\boldsymbol {l}_1, \boldsymbol {l}_2, \boldsymbol {l}_3 \}\)
• \(\boldsymbol {\rm U}\)、\(\boldsymbol {\rm V}\)、\(\boldsymbol {\rm F}\)、\(\boldsymbol {\rm R}\)的联系
  • \(\boldsymbol {\rm U}\)和\(\boldsymbol {\rm V}\)的三个特征值\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)一模一样；又被称作principle stretches 主拉伸，意味着在\(\boldsymbol {\rm x}\)处的变形
  • \(\boldsymbol {\rm U}\)的特征向量与\(\boldsymbol {\rm V}\)的特征向量的联系：\(\boldsymbol {l}_i=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm r}_i, i=1,2,3\)
  • \(\boldsymbol {\rm U}\)和\(\boldsymbol {\rm V}\)用其特征向量表示：
    • \(\boldsymbol {\rm U}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \qquad \boldsymbol {\rm V}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {l}_i\)
  • \(\boldsymbol {\rm F}\)、\(\boldsymbol {\rm R}\)也可以用\(\boldsymbol {\rm U}\)和\(\boldsymbol {\rm V}\)的特征向量表示
    • \(\boldsymbol {\rm F}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \qquad \boldsymbol {\rm R}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i\)
• \(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm U}\) 代入 章节 一般形变：研究长度、朝向、夹角、体积、表面的改变 中的每一项，我们可以得到：
  • 只依赖于stretch tensor \(\boldsymbol {\rm U}\)：
    • 纤维长度改变 \({\rm d}s_y={\rm d}s_x \sqrt{ \boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0 \cdot \boldsymbol {\rm n}_0 }\)
    • 夹角改变 \(\cos{\theta_y}=\frac {\boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}} {\sqrt{\boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(1)}} \sqrt{\boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}}}\)
    • 体积改变 \({\rm d}V_y={\rm d}V_x \det{\boldsymbol {\rm U}}\)
    • 表面面积改变 \({\rm d}A_y={\rm d}A_x (\det{\boldsymbol {\rm U}}) \lVert \boldsymbol {\rm U}^{-1} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert\)
  • 同时依赖于stretch tensor \(\boldsymbol {\rm U}\) 和旋转矩阵\(\boldsymbol {\rm R}\)
    • 纤维朝向改变：\(\boldsymbol {\rm n}=\boldsymbol {\rm R} \frac {\boldsymbol {\rm U}\boldsymbol {\rm n}_0} {\lVert \boldsymbol {\rm U}\boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}\)
    • 表面法向量改变：\(\boldsymbol {\rm n}=\boldsymbol {\rm R} \frac {\boldsymbol {\rm U}^{-1}\boldsymbol {\rm n}_0} {\lVert \boldsymbol {\rm U}^{-1}\boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}\)
• 逆变形：left stretch tensor 左拉伸张量 \(\boldsymbol {\rm V}\) 可以帮助我们计算从deformed configuration到ref configuration的变形
  • 从 \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm V}(\boldsymbol {\rm R}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\) 推出 \({\rm d}\boldsymbol {\rm x}=\boldsymbol {\rm R}^{-1}(\boldsymbol {\rm V}^{-1}{\rm d}\boldsymbol {\rm y})\)
  • 把\(\boldsymbol {\rm R}^{-1}\)看做"\(\boldsymbol {\rm R}\)"，把\(\boldsymbol {\rm V}^{-1}\)看做"\(\boldsymbol {\rm U}\)"，之前的结论都可以顺带推出
  • 可以这样思考：
    • right stretch tensor\(\boldsymbol {\rm U}\) 是从reference 到 deformed ，可以看做为Lagrangian stretch tensor 拉格朗日拉伸张量
    • left stretch tensor\(\boldsymbol {\rm V}\) 是从deformed 到 reference ，可以看做为Eulerian stretch tensor 欧拉拉伸张量
• Cauchy-Green deformation tensor柯西-格林变形张量
  • 由于\(\boldsymbol {\rm U}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} }\)和\(\boldsymbol {\rm V}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top} }\)的计算非常tedious繁琐；
    由于\(\boldsymbol {\rm U}\)和\(\boldsymbol {\rm U}^2\)之间是一一映射；
    可以利用\(\boldsymbol {\rm U}^2\)和\(\boldsymbol {\rm V}^2\)作为stretch 的一种measure评估
  • \(\boldsymbol {\rm C}=\boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm U}^2 \qquad \boldsymbol {\rm B}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top}=\boldsymbol {\rm V}^2\)
    • 分别为右柯西格林形变张量、左柯西科林形变张量
    • \(\boldsymbol {\rm C}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i^2 \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right) \qquad \boldsymbol {\rm B}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i^2 \left( \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {l}_i \right)\)

strains 应变

• strains应变与deformation形变的联系
  • \(\boldsymbol {\rm U}\)和\(\boldsymbol {\rm V}\)刻画了变形中的non-rigid part 非刚体变形的部分；
  • 考虑：如果deformed configuration coincide with reference configuration （即二者相同）
    • 那么变形表达为\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x}) \equiv \boldsymbol {\rm x}\)
    • 那么\(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I}, \quad \boldsymbol {\rm U}=\boldsymbol {\rm V}=\boldsymbol {\rm I}\)
  • 考虑：应变 一般/习惯上 在 reference configuration中vanish消失（i.e. 在未变形空间中，应变一般为零）
  • 上述即为stretch和strain的唯一有必要的区别；
  • 因此，我们在 选择应变的评估方法 时，基于这个原则即可
    • 比如\(\boldsymbol {\rm U}-\boldsymbol {\rm I}\)就是一种合适的 应变评估方法 ；它在ref configuration中为零矩阵
• 几种不同的Lagrangian strain拉格朗日应变评估张量
  • Green strain 格林应变：\(\frac {1}{2}(\boldsymbol {\rm U}^2-\boldsymbol {\rm I})\)
    generalized Green strain 广义格林应变：\(\frac {1}{m}(\boldsymbol {\rm U}^m-\boldsymbol {\rm I})\)
    Hencky strain / logarithmic strain 对数应变：\(\ln{\boldsymbol {\rm U}}\)
  • 这些应变评估张量都是右拉伸\(\boldsymbol {\rm U}\)的一一映射；所以都是equivalent等价的
  • 这些应变评估张量的的principle directions主方向都和\(\boldsymbol {\rm U}\)的一样，即\(\{ \boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3 \}\)
  • 这些应变评估张量对应的principle strain 主应变为：
    \(\frac {1}{2}(\lambda_i^2-1)\)
    \(\frac {1}{m}(\lambda_i^m-1)\)
    \(\ln{\lambda_i}\)
  • 注意：几种应变评估张量在选择的时候，并没有统一的偏好；往往对于特定材质、特定应变种类才有对某种应变评估张量的偏好
  • 几种不同的Eularian strain欧拉应变评估张量：与Lagrangian strain相似
    • Almansi strain 阿尔曼西应变：\(\frac {1}{2}(\boldsymbol {\rm I}-\boldsymbol {\rm V}^{-2})\)
      generalized Almansi strain 广义阿尔曼西应变：\(\frac {1}{m}(\boldsymbol {\rm I}-\boldsymbol {\rm V}^{-m})\)
      logarithmic strain 对数应变：\(\ln{\boldsymbol {\rm V}}\)
    • 这些应变评估张量的principle directions主方向都和\(\boldsymbol {\rm V}\)的一样，即\(\boldsymbol {l}_1, \boldsymbol {l}_2, \boldsymbol {l}_3\)
• 更广义、一般化的的Lagrangian strain tensor拉格朗日应变张量\(\boldsymbol {\rm E}(\boldsymbol {\rm U})\)
  • 让\(e(\cdot)\)为一个/任意的在\((0,\infty)\)定义的标量值函数，它满足以下条件：
    • \(\begin{array}{l} \text{(a)} & e(1)=0 \\ \text{(b)} & e'(1)=1 \\ \text{(c)} & e'(\lambda) \gt 0 & \text{for all}\, \lambda \gt 0 \end{array}\)
      • (a) 用来保证如果deformed 和reference coincide，vanish (i.e. \(\boldsymbol {\rm E}=\boldsymbol {\rm O}\) )
      • (b) 用来使\(\boldsymbol {\rm E}(\boldsymbol {\rm U})\)适用于经典的infinitesimal strain tensor 无穷小应变张量的理论 见章节 [liearization 线性化近似 （无穷小形变张量）](#linearization 线性化近似 （无穷小形变张量）)
      • (c) 用来保证主应变 \(e(\lambda_i)\) 随相应的主拉伸 \(\lambda_i\)单调递增
  • 则可以用特征向量\(\boldsymbol {\rm r}_i\)和对应的特征值\(e(\lambda_i)\)来构造拉格朗日应变张量：
    • \(\boldsymbol {\rm E}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} e(\lambda_i) \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right)\)
• 应变张量的物理意义
  • 物理意义：
    • diagonal components / normal components of 应变 \(\boldsymbol {\rm E}\)：
      对角线上的元素\(E_{11}, E_{22}, E_{33}\)描述的是正应变（应变的正分量）
    • off-diagonal components / shear components of 应变\(\boldsymbol {\rm E}\)：
      非对角线上的元素\(E_{12}, E_{23}, E_{31}\)描述的是切应变（应变的剪切分量）
  • 由于\(\boldsymbol {\rm E}\) 是对称矩阵，它有principle basis 主基底，事实上就是\(\boldsymbol {\rm U}\)的主基底\(\{ \boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3 \}\)
    • 在主基底下，矩阵变为对角矩阵，即shear components剪切应变vanish消失（i.e.为零），normal components即为principle strains
  • 以格林应变张量举例说明：
    • \(\boldsymbol {\rm E}=\frac {1}{2}\left(\boldsymbol {\rm U}^2-\boldsymbol {\rm I}\right)=\frac {1}{2} \left( \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} - \boldsymbol {\rm I} \right)=\frac {1}{2} \left( {\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u} + ({\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u})^{\top} + ({\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u})^{\top}{\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u} \right)\)
      • 其中，\(\boldsymbol {\rm u}\)是displacement vector
      • \(\boldsymbol {\rm E}\)的组分为：\(E_{ij}=\frac {1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} + \frac{\partial u_k}{\partial x_j} \frac{\partial u_k}{\partial x_j} \right)\)
    • 纤维长度改变量代入得：\({\rm d}s_y={\rm d}s_x \sqrt{1 + 2 \boldsymbol {\rm E}\boldsymbol {\rm n}_0 \cdot \boldsymbol {\rm n}_0 }\)
      • 即 \(\frac{ {\rm d}s_y-{\rm d}s_x}{ {\rm d}s_x} =\sqrt{1 + 2 \boldsymbol {\rm E}\boldsymbol {\rm n}_0 \cdot \boldsymbol {\rm n}_0 } - 1\)
      • 上式刻画了对于 任意 纤维方向\(\boldsymbol {\rm n}_0\) 的长度相对改变量
      • 假设特例：\(\boldsymbol {\rm n}_0=\boldsymbol {\rm e}_1\)
        • 则有\(\frac{ {\rm d}s_y-{\rm d}s_x}{ {\rm d}s_x} =\sqrt{1 + 2 E_{11} } - 1\)
        • 可见对于一般情况，应变的normal components \(E_{11}, E_{22}, E_{33}\) 描述的是坐标方向\(x_1, x_2, x_3\)的长度变化
    • 夹角改变代入得：\(\cos{\theta_y}=\frac {(1 + 2 \boldsymbol {\rm E}\boldsymbol) \boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}} {\sqrt{(1 + 2 \boldsymbol {\rm E})\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(1)}} \sqrt{(1 + 2 \boldsymbol {\rm E})\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}}}\)
      • 假设特例：\(\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)}=\boldsymbol {\rm e}_1, \quad \boldsymbol {\rm n}_0^{(2)}=\boldsymbol {\rm e}_2\)
        • 则有\(\cos{\theta_y}=\frac {2 E_{12}} {\sqrt{1+2E_{11}} \sqrt{1+2E_{22}}}\)
        • 角度改变，取决于切应变\(E_{12}\)和正应变\(E_{11}, E_{22}\)

linearization 线性化近似 （无穷小形变张量）

• displacement gradient tensor 位移梯度张量
  • displacement vector 位移向量定义为：
    • \(\boldsymbol {\rm u}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm x}\)
  • 位移梯度张量定义为：
    • \(\boldsymbol {\rm H}(\boldsymbol {\rm x})={\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u}(\boldsymbol {\rm x})\)
    • 组分为：\(H_{ij}(\boldsymbol {\rm x})=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\)
    • \(\boldsymbol {\rm H}=\boldsymbol {\rm F}-\boldsymbol {\rm I}\)
• 在"\(\boldsymbol {\rm H}\) 很小"的特例情况下，\(\boldsymbol {\rm U}, \boldsymbol {\rm V}, \boldsymbol {\rm R}, \boldsymbol {\rm E}\) 用 \(\boldsymbol {\rm H}\) 进行线性化近似表述
  • 前面的\(\boldsymbol {\rm U}, \boldsymbol {\rm V}, \boldsymbol {\rm R}, \boldsymbol {\rm E}\) 都是用\(\boldsymbol {\rm F}\) 表示
  • 这里假定"\(\boldsymbol {\rm H}\) 很小"意味着\(\lVert \boldsymbol {\rm H} \rVert\)很小
  • set \(\lVert \boldsymbol {\rm H} \rVert = \epsilon\)，当\(\epsilon \rightarrow 0\)时
    • \(\begin{array} \boldsymbol {\rm U}^2 = \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} + O(\epsilon^2) \\ \boldsymbol {\rm V}^2= \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top}= \boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} + O(\epsilon^2) \\ \boldsymbol {\rm U}=\sqrt{\boldsymbol {\rm U}^2}=\boldsymbol {\rm I}+ \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) + O(\epsilon^2) \\ \boldsymbol {\rm V}=\sqrt{\boldsymbol {\rm V}^2}=\boldsymbol {\rm I}+ \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) + O(\epsilon^2) \\ \boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}^{-1}=\boldsymbol {\rm I}+ \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}- \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) + O(\epsilon^2) \end{array}\)
    • \(\boldsymbol {\rm E}(\boldsymbol {\rm U})=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} e(\lambda_i) \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right)=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} (\lambda_i-1) \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right) + O(\epsilon^2)\)
      • \(e(\lambda_i)\)近似为\((\lambda_i-1)\)
  • 如果定义两个2-tensor：
    • infinitesimal strain tensor 无穷小应变张量
      • \(\boldsymbol{\varepsilon} \overset{\rm def}{=} \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) \)
      • 如果\(\varepsilon_i\)为其特征值，则有\(\lambda_i=1+\varepsilon_i+O(\epsilon^2)\)
    • infinitesimal rotation tensor 无穷小旋转张量
      • \(\boldsymbol{\omega}\overset{\rm def}{=} \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}- \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right)\)
    • 组分为\(\varepsilon_{ij}=\frac {1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \qquad \omega_{ij}=\frac {1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)\)
    • 则有：
      • \(\boldsymbol {\rm H}=\boldsymbol{\varepsilon}+\boldsymbol{\omega}\)
      • \(\boldsymbol {\rm U}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol{\varepsilon}+O(\epsilon^2)\)
      • \(\boldsymbol {\rm V}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol{\varepsilon}+O(\epsilon^2)\)
      • \(\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol{\omega}+O(\epsilon^2)\)
    • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=(\boldsymbol {\rm H}+\boldsymbol {\rm I}){\rm d}\boldsymbol {\rm x}={\rm d}\boldsymbol {\rm x}+\boldsymbol{\varepsilon}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}+\boldsymbol{\omega}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)
      • 对比\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\)，可以看到无穷小形变的线性近似下，局部变形被additively decomposed加和分解为应变和旋转；而\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\)是乘积分解为应变和旋转
• “\(\boldsymbol {\rm H}(\boldsymbol {\rm x})={\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u}(\boldsymbol {\rm x})\)很小"可以进行线性近似，假设其他量很小也可以进行线性近似
  • e.g. 卷一张纸时：旋转量\(\boldsymbol {\rm R}\)很大，应变量\(\boldsymbol {\rm U}-\boldsymbol {\rm I}\)很小；此时可以假定\(\boldsymbol {\rm U}-\boldsymbol {\rm I}\)是一个很小量进行线性近似，而\(\boldsymbol {\rm R}\)则还是任意的