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基本数学定理:关于形变


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  • 虽然属于连续介质力学中的内容,但本篇同MIT笔记的第2章一样,本篇只讨论变形相关的几何本身,而不涉及变形的cause成因,不涉及材料的组成材料等,只把物体假设为一般的continuum连续介质来讨论其变形的几何。

basics

  • 两个向量的dot product点积
    • \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)
  • 两个向量的vector product向量积;叉乘
    • \(\vec{a} \times \vec{b}\)
  • 两个向量的tensor product张量积
    • \(\vec{a} \otimes \vec{b}=\vec{a} \vec{b}^{\top}\)
    • e.g. \(\underset{3 \times 1}{\vec{a}} \otimes \underset{3 \times 1}{\vec{b}} = \underset{3 \times 1}{\vec{a}} \quad \underset{1 \times 3}{\vec{b}^{\top}} = \underset{3 \times 3}{C}\)
  • 正交矩阵 -> 复数域推广 酉矩阵
  • 实对称矩阵 -> 复数域推广 艾尔米特矩阵
  • 矩阵的平方根
  • 矩阵的极分解
  • 矩阵的对数
    • 实对称矩阵的对数矩阵的表达:
      • \(\ln{\boldsymbol {\rm U}}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \ln{\lambda_i} \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right)\)

deformations

  • deformation:形变
    • 考虑一个物体(只需要是continuum,连续介质),其中一个particle粒子 \(x\in \mathcal{R}_0\),属于reference/undeformed configuration参考物体空间 \(\mathcal{R}_0\)
    • 考虑物体变形以后,粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)的新位置:\(\boldsymbol {\rm y} \in \mathcal{R}\),属于deformed configuration 变形后的物体空间 \(\mathcal{R}\)
    • 从 reference configuration 到 deformed configuration的 deformation 形变定义为一个映射:
      • \(\boldsymbol {\rm y}=\hat{\boldsymbol {\rm y}}(\boldsymbol {\rm x})\)
      • takes \(\mathcal{R}_0 \rightarrow \mathcal{R}\)
    • displacment vector field \(\hat{u}(x)\) 定义为
      • \(\hat{\boldsymbol {\rm u}}(\boldsymbol {\rm x})=\hat{\boldsymbol {\rm y}}(\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm x}\)
    • https://longtimenohack.com/posts/basics_maths/deformation/image-20210105200719506.png

Deformation Gradient Tensor 形变梯度张量: deformation in the neighborhood of a particle 在一个粒子邻域中的变形

  • deformation gradient tensor 形变梯度张量
    • 为了考虑物体在粒子x处的state of stress应力状态等,需要考虑不仅在x处的变形,还要考虑粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)的一个small neighborhood小邻域中的all particles所有粒子的变形
    • 直觉上讲:我们期望在这个局部小邻域球中的粒子经历的变形由rigid translation刚体平动、rigid rotation刚体旋转 和 "straining" “应变"组成;在后面将会准确公式化表述
    • 在一个generic粒子x处的 deformation gradient tensor形变梯度张量定义为:
      • \(\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})={\rm Grad} \; \boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)
      • 这是用于描述、研究在邻域中的变形的主要量
      • \(\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)是一个2-tensor,它的元素为:
        • \(F_{ij}(\boldsymbol {\rm x})=\frac{\partial y_i(\boldsymbol {\rm x})}{\partial x_j} \)
        • 是一个3x3矩阵场 \([F(\boldsymbol {\rm x})]\)
  • 一个infinitesimal material fiber无穷小 物质 纤维的deformation
    • 考虑两个在reference configuration中放置于\(\boldsymbol {\rm x}\)\(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)处的两个粒子p, q;
    • 考虑包含这两个粒子的infinitesimal material fiber无穷小 物质 纤维:\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)
    • 在deformed configuration中,这两个粒子位于\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x})\)
    • 则这个infinitesimal material fiber的deformed image(代数中的概念)用如下 向量 描述
      • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)
    • 由于这两个粒子p,q是相邻的,距离\(\lVert {\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rVert\)很近,因此可以用Taylor expansion泰勒展开来近似该表达式
      • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\left( {\rm Grad} \; \boldsymbol {\rm y} \right ) {\rm d}\boldsymbol {\rm x} + {\rm O}(\lVert {\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rVert^2) = \boldsymbol {\rm F} \; {\rm d}\boldsymbol {\rm x} + {\rm O}(\lVert {\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rVert^2)\)
      • 即近似为:
        • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)
      • 其组分为:
        • \({\rm d}y_i=\underset{j}{\sum} F_{ij} {\rm d}x_j\) or \(\{y\}=[F]\{x\}\)
      • 注意,这个近似并不需要假设梯度场的变化小;它只需要假设p和q挨得足够近
      • 即:\(\boldsymbol {\rm F}\) 把 无穷小未变形物质纤维\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\) carries into带到了它在变形configuration中的位置\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}\)
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  • \(\boldsymbol {\rm F}\)应具有的一些假设
    • 行列式不为0
      • 考虑一个物理上可实现的变形:单个物质纤维不会裂变为两个物质纤维;两个不同的物质纤维不会合并为同一个物质纤维
      • 即,\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)需要是一个one-to-one一一映射,即\(\boldsymbol {\rm F}\)需要是 non-sigular非奇异矩阵:
        • \(J=\det \boldsymbol {\rm F} \neq 0\)
        • \(J\)也叫做 Jacobian determinant 雅克比行列式
    • 行列式为正值
      • 考虑三个独立物质纤维\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(i)}, i=1,2,3\)
      • 变形场 把这些纤维带到了3组位置:\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(i)}=\boldsymbol {\rm F} {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(i)}, i=1,2,3\)
      • 如果这个变形把右手组合纤维\(\{ {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(2)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(3)} \}\)带到了右手组合纤维\(\{ {\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(2)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(3)} \}\),则称这个变形被称作是preveserves orientation 定向保留
        • 这里的orientation是群论/向量空间中的概念:定向;其实反映的是一种类似手性的概念,orientation preserving即意味着手性得到保留;
        • 镜射变换,手性就不保留;
      • 一个变形是orientation preserving的,当且仅当行列式大于0:
        • \(J=\det \boldsymbol {\rm F} \gt 0\)
      • https://longtimenohack.com/posts/basics_maths/deformation/image-20210105210342160.png
  • 变形的正式表述
    • 如上,一个粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)一般的邻域粒子\(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)的变形正式表述为:
      • \(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})+\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)
      • 因此,想要描述粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)的整个邻域的变形特征,就必须知道变形函数\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)和变形梯度张量\(\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)
        • 变形函数\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)刻画的是邻域粒子的平动
        • 变形梯度张量\(\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)刻画的是旋转和"应变”

特殊形变:一些均匀变形:纯拉伸,简单剪切变形

  • homogeneous deformation 均匀变形

    • 如果一个变形的变形梯度张量在整个ref区域\(\mathcal{R}_0\)都是常量,那么这个变形\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})\)就是一个homogeneous deformation
    • 因为变形梯度张量是一个常量,因此这种变形可以有如下表述:
      • \(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm x} + \boldsymbol {\rm b}\)
      • 其中,\(\boldsymbol {\rm F}\)是一个常张量,\(\boldsymbol {\rm b}\)是一个常向量
      • 这其实就是一个一般的仿射变换:平动,旋转,缩放,剪切
  • 假设\(\{\boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\}\) 是ref的orthonormal basis 标准正规基底;假设基底和一个单位cube的边对齐,从这个单位方出发进行变形

pure stretch 纯拉伸

https://longtimenohack.com/posts/basics_maths/deformation/image-20210105211037474.png

  • \(\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm x} \qquad where \qquad \boldsymbol {\rm F}=\lambda_1 \boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1 + \lambda_2 \boldsymbol {\rm e}_2 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2 + \lambda_3 \boldsymbol {\rm e}_3 \otimes \boldsymbol {\rm e}_3\)

  • 在标准正规基底\(\{\boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\}\)

    • \(\boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
    • \(\boldsymbol {\rm F}=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}\)
    • \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)代表在3个基底方向上的拉压比率
  • 如果\(\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1\),则是isochoric等容的变形

  • pure dilatation 纯膨胀

    • \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3\)
  • uniaxial stretch 单轴拉伸

    • \(\lambda_2 = \lambda_3 =1\)
    • \(\boldsymbol {\rm F}=\lambda_1 \boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1 + \boldsymbol {\rm e}_2 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2 + \boldsymbol {\rm e}_3 \otimes \boldsymbol {\rm e}_3 = \boldsymbol{\rm I} + (\lambda_1-1) \boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1\)
    • 在标准正规基底\(\{\boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\}\)
      • \(\boldsymbol {\rm F}=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
    • 更一般地:
      • \(\boldsymbol {\rm F}= \boldsymbol{\rm I} + (\lambda_1-1) \boldsymbol {\rm n} \otimes \boldsymbol {\rm n}, \qquad \lVert \boldsymbol {\rm n} \rVert=1\)

simple shearing deformation 简单剪切变形

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  • \(\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm x} \qquad where \qquad \boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I} + k \; \boldsymbol{\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2\)
  • 在标准正规基底\(\{\boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\}\)
    • \(\boldsymbol{\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
    • \(\boldsymbol {\rm F}=\begin{pmatrix} 1 & k & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)
  • \(\boldsymbol {\rm u}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm x}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm x}-\boldsymbol {\rm x}=k \; \boldsymbol{\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2 \; \boldsymbol {\rm x}=kx_2\boldsymbol {\rm e}_1\)
    • 意味着 \(x_2={\rm constant}\) 平面朝着 \(x_1\) -方向 刚体平动,平动量为 \(kx_2\)
    • 把矩阵\(\boldsymbol {\rm F}\)中出现\(k\)的那个剪切量,行标的方向称为shearing direction剪切方向,列标的方向对应法向量的平面称为shearing/glide plane剪切平面
  • 更一般地:
    • \(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I} + k \; \boldsymbol{\rm m} \otimes \boldsymbol {\rm n}, \qquad \lVert \boldsymbol {\rm m} \rVert=\lVert \boldsymbol {\rm n} \rVert = 1, \qquad \boldsymbol {\rm m} \cdot \boldsymbol {\rm n} = 0 \)
    • \(\boldsymbol {\rm m}\)为剪切方向,\(\boldsymbol {\rm n}\)法向量对应的平面为剪切平面

一般形变:研究长度、朝向、夹角、体积、表面的改变

一个物质纤维微元的改变:长度、朝向

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  • 长度改变比例:\(\lVert \boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert\)
  • 新朝向:\(\frac {\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0}{\lVert \boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}\)

两个物质纤维微元的改变:夹角

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  • 考虑由\(\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)}\)\(\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)}\)定义的夹角
  • 新夹角大小:\(\cos{\theta_y}= \frac {\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)}} { \lVert \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \rVert \lVert \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)} \rVert}\)

一块体积物质微元的改变:体积

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  • 考虑由\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(2)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(3)}\) 定义的tetrahedron四面体
  • 体积改变:\({\rm d}V_y=J {\rm d}V_x \qquad where \qquad J=\det\boldsymbol {\rm F}\)

📌 ⚠️ 一块表面物质微元的改变:面积,平面法向量

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  • 考虑由\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(2)}\) 定义的parallelogram平行四边形
  • 新法向量:\(\boldsymbol {\rm n}=\frac {\boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0 } {\lVert \boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}\)
  • 面积变化比例:\({\rm d}A_y={\rm d}A_x \, J \lVert \boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert\)
  • 注意:平面法向量一般不继承变形操作
    • 变形后的平面的法向量\(\boldsymbol {\rm n}\)一般不与 变形前平面法向量\(\boldsymbol {\rm n}_0\)变形后的向量\(\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0\) 平行
    • 变形前与平面垂直的法向量\(\boldsymbol {\rm n}_0\),在变形后的向量\(\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0\) 一般不与 变形后的平面垂直
    • Q: 有待数学证明
      • 若要使平面法向量 处处 继承变形操作,需要对任意\(\boldsymbol {\rm n}_0\)满足\(\boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0\)\(\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0\)方向一致;
      • \(\boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0=\alpha \boldsymbol {\rm n}_0\) 对于任意\(\boldsymbol {\rm n}_0\)均成立
      • 意味着\(\boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F}\)是正交矩阵?变形是homogeneous的,而且只包含旋转+等比缩放?

特殊形变:rigid deformation刚性形变

  • 刚性形变的定义
    • 物体中的所有对粒子在变形后保持变形前距离
    • i.e. 任意两个粒子\(\boldsymbol {\rm z}\)\(\boldsymbol {\rm x}\)在变形前在ref configuration中距离为\(\lVert \boldsymbol {\rm z}-\boldsymbol {\rm x} \rVert\),应与变形后在deformed configuration中距离\(\lVert \boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm z})-\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x}) \rVert\)相等
    • \(\lVert \boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm z})-\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x}) \rVert^2 = \underset{i}{\sum} \left[ y_i(\boldsymbol {\rm z}) - y_i(\boldsymbol {\rm x}) \right] \left[ y_i(\boldsymbol {\rm z}) - y_i(\boldsymbol {\rm x}) \right] = \underset{i}{\sum} (z_i-x_i)(z_i-x_i) \qquad {\rm for \; all \;} \boldsymbol {\rm x},\boldsymbol {\rm z} \in \mathcal{R}_0\)
    • 上式等价于 \(\boldsymbol {\rm F}^{\top}(\boldsymbol {\rm x}) \boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm z})=\boldsymbol {\rm I} \qquad {\rm for \; all \;} \boldsymbol {\rm x},\boldsymbol {\rm z} \in \mathcal{R}_0\)
    • 上式等价于\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)是一个 常量张量 ,且是一个 旋转矩阵proper orthogonal tensor行列式为1的正交矩阵)
证明:点击展开
  • 首先两边对\(x_j\)求偏导
    • \(\underset{i}{\sum} -2 F_{ij}(\boldsymbol {\rm x})(y_i(\boldsymbol {\rm z}) - y_i(\boldsymbol {\rm x}))=-2(z_j-x_j)\)
  • 再两边对\(z_k\)求偏导:
    • \(-2 F_{ij}(\boldsymbol {\rm x})F_{ik}(\boldsymbol {\rm z})= -2\delta_{jk} =\begin{cases} -2 & \text{if}\, j = k \\ 0 & \text{if}\, j \neq k \end{cases}\)
    • i.e. \(F_{ij}(\boldsymbol {\rm x})F_{ik}(\boldsymbol {\rm z})= \delta_{jk}\)
    • 即得: \(\boldsymbol {\rm F}^{\top}(\boldsymbol {\rm x}) \boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm z})=\boldsymbol {\rm I} \qquad {\rm for \; all \;} \boldsymbol {\rm x},\boldsymbol {\rm z} \in \mathcal{R}_0\)
      • 可得出\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)处处行列式为1
      • 代入\(\boldsymbol {\rm z}=\boldsymbol {\rm x}\)可得\(\boldsymbol {\rm F}^{\top}(\boldsymbol {\rm x}) \boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm I}\qquad {\rm for \; all \;} \boldsymbol {\rm x}\in \mathcal{R}_0\),即\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)处处正交
      • 两边同乘\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\),可得\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm z})=\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\qquad {\rm for \; all \;} \boldsymbol {\rm x},\boldsymbol {\rm z} \in \mathcal{R}_0\),即\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)是一个常量张量
  • 结论:刚性形变对应的形变梯度张量是一个常旋转矩阵
    • 记对所有\(\boldsymbol {\rm x} \in \mathcal{R}_0\)\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm Q}\)\(\boldsymbol {\rm Q}\)是一个 旋转矩阵proper orthogonal tensor行列式为1的正交矩阵)
    • 则刚性形变的形式为:
      • \(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm Q} \boldsymbol {\rm x} + \boldsymbol {\rm b}\)

📌 ​一般形变:形变梯度张量 分解为 旋转矩阵 & stretch tensor

  • 先前结论:
    • 形变梯度张量\(\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})\)完备地描述了在粒子\(\boldsymbol {\rm x}\)一个邻域中的变形的特征;
    • 变形的一部分是刚体旋转,另一部分是一种"distortion"/“strain”
  • 对形变梯度张量进行polar decomposition 极分解
    • 定理:任何带有正值行列式的非奇异矩阵\(\boldsymbol {\rm F}\)可以被uniquely写作一个proper orthogonal tensor旋转矩阵\(\boldsymbol {\rm R}\)和一个symmetric positive definite tensor实对称正定矩阵\(\boldsymbol {\rm U}\)的矩阵相乘乘积
    • \(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm U}\)
    • \(\boldsymbol {\rm R}\)代表着\(\boldsymbol {\rm F}\)的刚体旋转的部分,\(\boldsymbol {\rm U}\)代表着\(\boldsymbol {\rm F}\)的非旋转的部分
    • \(\boldsymbol {\rm U}\)如此给出:\(\boldsymbol {\rm U}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} }\)
    • \(\boldsymbol {\rm R}\)如此给出:\(\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}^{-1}\)
    • 考虑一个fiber纤维的形变表达式为\({\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow {\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\),也可以写作
      • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\)
      • 即这个纤维可以被看做 首先经过变形\(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\),再经过刚体旋转\(\boldsymbol {\rm R}\)
      • \({\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})={\rm d}\boldsymbol {\rm y}\)
  • right stretch tensor右拉伸张量 \(\boldsymbol {\rm U}\) 的性质
    • symmetric对称
      • 有3个实数特征值\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)
      • 有和3个特征值相对应的三元组orthonormal正规特征向量\(\boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3\)
    • positive definite 正定
      • 3个特征值均为正数
    • 在基底/主方向\(\{ \boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3 \}\) 下的表示
      • \([\boldsymbol {\rm U}]=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}, \qquad \lambda_i \gt 0\)
      • 因此对于 \({\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\),意味着纤维\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\) 被tensor \(\boldsymbol {\rm U}\)\(\boldsymbol {\rm U}\)principle directions 被拉伸,拉伸的量取决于每个方向的corresponding eigenvalues相应的特征值
      • 注意:只有在\(\boldsymbol {\rm U}\)的主方向表示\(\boldsymbol {\rm U}\)才是纯拉伸;在一般情况下表示\(\boldsymbol {\rm U}\),既包含拉伸又包含剪切;不过拉伸的量仍然是由特征值定义;具体见 [strains 应变](#strains 应变) 章节
    • 因为\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)方向一般不与 \({\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\) 平行,因此纤维在进行\({\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)也带有旋转;但这种旋转不是一种刚体旋转,因为纤维的长度也发生了变化
  • left stretch tensor左拉伸张量\(\boldsymbol {\rm V}\)
    • 极分解有一种alternative version:
      • \(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm V}\boldsymbol {\rm R}\)
      • \(\boldsymbol {\rm V}\)如此给出:\(\boldsymbol {\rm V}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top} }\)
      • \(\boldsymbol {\rm R}\)如此给出:\(\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm V}^{-1}\boldsymbol {\rm F}\)
      • \(\boldsymbol {\rm R}\)\(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm U}\)中的\(\boldsymbol {\rm R}\) identical 完全一样
        • \(\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm V}^{-1}\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}^{-1}\),故有\(\boldsymbol {\rm V}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}\boldsymbol {\rm F}^{-1}\)
    • 一个一般未变形纤维\({\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)的形变也可以看做
      • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm V}(\boldsymbol {\rm R}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\)
      • 首先经过刚体旋转\(\boldsymbol {\rm R}\),再经过\(\boldsymbol {\rm V}\)的stretching
    • \(\boldsymbol {\rm V}\)\(\boldsymbol {\rm U}\)性质相似:
      • 有3个正实数特征值\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)及对应的特征向量 \(\boldsymbol {l}_1, \boldsymbol {l}_2, \boldsymbol {l}_3\),组成主基底\(\{\boldsymbol {l}_1, \boldsymbol {l}_2, \boldsymbol {l}_3 \}\)
  • \(\boldsymbol {\rm U}\)\(\boldsymbol {\rm V}\)\(\boldsymbol {\rm F}\)\(\boldsymbol {\rm R}\)的联系
    • \(\boldsymbol {\rm U}\)\(\boldsymbol {\rm V}\)的三个特征值\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)一模一样;又被称作principle stretches 主拉伸,意味着在\(\boldsymbol {\rm x}\)处的变形
    • \(\boldsymbol {\rm U}\)的特征向量与\(\boldsymbol {\rm V}\)的特征向量的联系:\(\boldsymbol {l}_i=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm r}_i, i=1,2,3\)
    • \(\boldsymbol {\rm U}\)\(\boldsymbol {\rm V}\)用其特征向量表示:
      • \(\boldsymbol {\rm U}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \qquad \boldsymbol {\rm V}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {l}_i\)
    • \(\boldsymbol {\rm F}\)\(\boldsymbol {\rm R}\)也可以用\(\boldsymbol {\rm U}\)\(\boldsymbol {\rm V}\)的特征向量表示
      • \(\boldsymbol {\rm F}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \qquad \boldsymbol {\rm R}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i\)
  • \(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm U}\) 代入 章节 一般形变:研究长度、朝向、夹角、体积、表面的改变 中的每一项,我们可以得到:
    • 只依赖于stretch tensor \(\boldsymbol {\rm U}\)
      • 纤维长度改变 \({\rm d}s_y={\rm d}s_x \sqrt{ \boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0 \cdot \boldsymbol {\rm n}_0 }\)
      • 夹角改变 \(\cos{\theta_y}=\frac {\boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}} {\sqrt{\boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(1)}} \sqrt{\boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}}}\)
      • 体积改变 \({\rm d}V_y={\rm d}V_x \det{\boldsymbol {\rm U}}\)
      • 表面面积改变 \({\rm d}A_y={\rm d}A_x (\det{\boldsymbol {\rm U}}) \lVert \boldsymbol {\rm U}^{-1} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert\)
    • 同时依赖于stretch tensor \(\boldsymbol {\rm U}\) 和旋转矩阵\(\boldsymbol {\rm R}\)
      • 纤维朝向改变:\(\boldsymbol {\rm n}=\boldsymbol {\rm R} \frac {\boldsymbol {\rm U}\boldsymbol {\rm n}_0} {\lVert \boldsymbol {\rm U}\boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}\)
      • 表面法向量改变:\(\boldsymbol {\rm n}=\boldsymbol {\rm R} \frac {\boldsymbol {\rm U}^{-1}\boldsymbol {\rm n}_0} {\lVert \boldsymbol {\rm U}^{-1}\boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}\)
  • 逆变形:left stretch tensor 左拉伸张量 \(\boldsymbol {\rm V}\) 可以帮助我们计算从deformed configuration到ref configuration的变形
    • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm V}(\boldsymbol {\rm R}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\) 推出 \({\rm d}\boldsymbol {\rm x}=\boldsymbol {\rm R}^{-1}(\boldsymbol {\rm V}^{-1}{\rm d}\boldsymbol {\rm y})\)
    • \(\boldsymbol {\rm R}^{-1}\)看做"\(\boldsymbol {\rm R}\)",把\(\boldsymbol {\rm V}^{-1}\)看做"\(\boldsymbol {\rm U}\)",之前的结论都可以顺带推出
    • 可以这样思考:
      • right stretch tensor\(\boldsymbol {\rm U}\) 是从reference 到 deformed ,可以看做为Lagrangian stretch tensor 拉格朗日拉伸张量
      • left stretch tensor\(\boldsymbol {\rm V}\) 是从deformed 到 reference ,可以看做为Eulerian stretch tensor 欧拉拉伸张量
  • Cauchy-Green deformation tensor柯西-格林变形张量
    • 由于\(\boldsymbol {\rm U}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} }\)\(\boldsymbol {\rm V}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top} }\)的计算非常tedious繁琐;
      由于\(\boldsymbol {\rm U}\)\(\boldsymbol {\rm U}^2\)之间是一一映射;
      可以利用\(\boldsymbol {\rm U}^2\)\(\boldsymbol {\rm V}^2\)作为stretch 的一种measure评估
    • \(\boldsymbol {\rm C}=\boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm U}^2 \qquad \boldsymbol {\rm B}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top}=\boldsymbol {\rm V}^2\)
      • 分别为右柯西格林形变张量、左柯西科林形变张量
      • \(\boldsymbol {\rm C}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i^2 \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right) \qquad \boldsymbol {\rm B}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i^2 \left( \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {l}_i \right)\)

strains 应变

  • strains应变与deformation形变的联系
    • \(\boldsymbol {\rm U}\)\(\boldsymbol {\rm V}\)刻画了变形中的non-rigid part 非刚体变形的部分;
    • 考虑:如果deformed configuration coincide with reference configuration (即二者相同)
      • 那么变形表达为\(\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x}) \equiv \boldsymbol {\rm x}\)
      • 那么\(\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I}, \quad \boldsymbol {\rm U}=\boldsymbol {\rm V}=\boldsymbol {\rm I}\)
    • 考虑:应变 一般/习惯上 在 reference configuration中vanish消失(i.e. 在未变形空间中,应变一般为零)
    • 上述即为stretch和strain的唯一有必要的区别;
    • 因此,我们在 选择应变的评估方法 时,基于这个原则即可
      • 比如\(\boldsymbol {\rm U}-\boldsymbol {\rm I}\)就是一种合适的 应变评估方法 ;它在ref configuration中为零矩阵
  • 几种不同的Lagrangian strain拉格朗日应变评估张量
    • Green strain 格林应变:\(\frac {1}{2}(\boldsymbol {\rm U}^2-\boldsymbol {\rm I})\)
      generalized Green strain 广义格林应变:\(\frac {1}{m}(\boldsymbol {\rm U}^m-\boldsymbol {\rm I})\)
      Hencky strain / logarithmic strain 对数应变:\(\ln{\boldsymbol {\rm U}}\)
    • 这些应变评估张量都是右拉伸\(\boldsymbol {\rm U}\)的一一映射;所以都是equivalent等价的
    • 这些应变评估张量的的principle directions主方向都和\(\boldsymbol {\rm U}\)的一样,即\(\{ \boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3 \}\)
    • 这些应变评估张量对应的principle strain 主应变为:
      \(\frac {1}{2}(\lambda_i^2-1)\)
      \(\frac {1}{m}(\lambda_i^m-1)\)
      \(\ln{\lambda_i}\)
    • 注意:几种应变评估张量在选择的时候,并没有统一的偏好;往往对于特定材质、特定应变种类才有对某种应变评估张量的偏好
    • 几种不同的Eularian strain欧拉应变评估张量:与Lagrangian strain相似
      • Almansi strain 阿尔曼西应变:\(\frac {1}{2}(\boldsymbol {\rm I}-\boldsymbol {\rm V}^{-2})\)
        generalized Almansi strain 广义阿尔曼西应变:\(\frac {1}{m}(\boldsymbol {\rm I}-\boldsymbol {\rm V}^{-m})\)
        logarithmic strain 对数应变:\(\ln{\boldsymbol {\rm V}}\)
      • 这些应变评估张量的principle directions主方向都和\(\boldsymbol {\rm V}\)的一样,即\(\boldsymbol {l}_1, \boldsymbol {l}_2, \boldsymbol {l}_3\)
  • 更广义、一般化的的Lagrangian strain tensor拉格朗日应变张量\(\boldsymbol {\rm E}(\boldsymbol {\rm U})\)
    • \(e(\cdot)\)为一个/任意的在\((0,\infty)\)定义的标量值函数,它满足以下条件:
      • \(\begin{array}{l} \text{(a)} & e(1)=0 \\ \text{(b)} & e'(1)=1 \\ \text{(c)} & e'(\lambda) \gt 0 & \text{for all}\, \lambda \gt 0 \end{array}\)
        • (a) 用来保证如果deformed 和reference coincide,vanish (i.e. \(\boldsymbol {\rm E}=\boldsymbol {\rm O}\) )
        • (b) 用来使\(\boldsymbol {\rm E}(\boldsymbol {\rm U})\)适用于经典的infinitesimal strain tensor 无穷小应变张量的理论 见章节 [liearization 线性化近似 (无穷小形变张量)](#linearization 线性化近似 (无穷小形变张量))
        • (c) 用来保证主应变 \(e(\lambda_i)\) 随相应的主拉伸 \(\lambda_i\)单调递增
    • 则可以用特征向量\(\boldsymbol {\rm r}_i\)和对应的特征值\(e(\lambda_i)\)来构造拉格朗日应变张量:
      • \(\boldsymbol {\rm E}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} e(\lambda_i) \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right)\)
  • 应变张量的物理意义
    • 物理意义:
      • diagonal components / normal components of 应变 \(\boldsymbol {\rm E}\)
        对角线上的元素\(E_{11}, E_{22}, E_{33}\)描述的是正应变(应变的正分量)
      • off-diagonal components / shear components of 应变\(\boldsymbol {\rm E}\)
        非对角线上的元素\(E_{12}, E_{23}, E_{31}\)描述的是切应变(应变的剪切分量)
    • 由于\(\boldsymbol {\rm E}\) 是对称矩阵,它有principle basis 主基底,事实上就是\(\boldsymbol {\rm U}\)的主基底\(\{ \boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3 \}\)
      • 在主基底下,矩阵变为对角矩阵,即shear components剪切应变vanish消失(i.e.为零),normal components即为principle strains
    • 以格林应变张量举例说明:
      • \(\boldsymbol {\rm E}=\frac {1}{2}\left(\boldsymbol {\rm U}^2-\boldsymbol {\rm I}\right)=\frac {1}{2} \left( \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} - \boldsymbol {\rm I} \right)=\frac {1}{2} \left( {\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u} + ({\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u})^{\top} + ({\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u})^{\top}{\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u} \right)\)
        • 其中,\(\boldsymbol {\rm u}\)displacement vector
        • \(\boldsymbol {\rm E}\)的组分为:\(E_{ij}=\frac {1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} + \frac{\partial u_k}{\partial x_j} \frac{\partial u_k}{\partial x_j} \right)\)
      • 纤维长度改变量代入得:\({\rm d}s_y={\rm d}s_x \sqrt{1 + 2 \boldsymbol {\rm E}\boldsymbol {\rm n}_0 \cdot \boldsymbol {\rm n}_0 }\)
        • \(\frac{ {\rm d}s_y-{\rm d}s_x}{ {\rm d}s_x} =\sqrt{1 + 2 \boldsymbol {\rm E}\boldsymbol {\rm n}_0 \cdot \boldsymbol {\rm n}_0 } - 1\)
        • 上式刻画了对于 任意 纤维方向\(\boldsymbol {\rm n}_0\) 的长度相对改变量
        • 假设特例:\(\boldsymbol {\rm n}_0=\boldsymbol {\rm e}_1\)
          • 则有\(\frac{ {\rm d}s_y-{\rm d}s_x}{ {\rm d}s_x} =\sqrt{1 + 2 E_{11} } - 1\)
          • 可见对于一般情况,应变的normal components \(E_{11}, E_{22}, E_{33}\) 描述的是坐标方向\(x_1, x_2, x_3\)的长度变化
      • 夹角改变代入得:\(\cos{\theta_y}=\frac {(1 + 2 \boldsymbol {\rm E}\boldsymbol) \boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}} {\sqrt{(1 + 2 \boldsymbol {\rm E})\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(1)}} \sqrt{(1 + 2 \boldsymbol {\rm E})\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}}}\)
        • 假设特例:\(\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)}=\boldsymbol {\rm e}_1, \quad \boldsymbol {\rm n}_0^{(2)}=\boldsymbol {\rm e}_2\)
          • 则有\(\cos{\theta_y}=\frac {2 E_{12}} {\sqrt{1+2E_{11}} \sqrt{1+2E_{22}}}\)
          • 角度改变,取决于切应变\(E_{12}\)和正应变\(E_{11}, E_{22}\)

linearization 线性化近似 (无穷小形变张量)

  • displacement gradient tensor 位移梯度张量
    • displacement vector 位移向量定义为:
      • \(\boldsymbol {\rm u}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm x}\)
    • 位移梯度张量定义为:
      • \(\boldsymbol {\rm H}(\boldsymbol {\rm x})={\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u}(\boldsymbol {\rm x})\)
      • 组分为:\(H_{ij}(\boldsymbol {\rm x})=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\)
      • \(\boldsymbol {\rm H}=\boldsymbol {\rm F}-\boldsymbol {\rm I}\)
  • 在"\(\boldsymbol {\rm H}\) 很小"的特例情况下,\(\boldsymbol {\rm U}, \boldsymbol {\rm V}, \boldsymbol {\rm R}, \boldsymbol {\rm E}\)\(\boldsymbol {\rm H}\) 进行线性化近似表述
    • 前面的\(\boldsymbol {\rm U}, \boldsymbol {\rm V}, \boldsymbol {\rm R}, \boldsymbol {\rm E}\) 都是用\(\boldsymbol {\rm F}\) 表示
    • 这里假定"\(\boldsymbol {\rm H}\) 很小"意味着\(\lVert \boldsymbol {\rm H} \rVert\)很小
    • set \(\lVert \boldsymbol {\rm H} \rVert = \epsilon\),当\(\epsilon \rightarrow 0\)
      • \(\begin{array} \boldsymbol {\rm U}^2 = \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} + O(\epsilon^2) \\ \boldsymbol {\rm V}^2= \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top}= \boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} + O(\epsilon^2) \\ \boldsymbol {\rm U}=\sqrt{\boldsymbol {\rm U}^2}=\boldsymbol {\rm I}+ \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) + O(\epsilon^2) \\ \boldsymbol {\rm V}=\sqrt{\boldsymbol {\rm V}^2}=\boldsymbol {\rm I}+ \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) + O(\epsilon^2) \\ \boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}^{-1}=\boldsymbol {\rm I}+ \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}- \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) + O(\epsilon^2) \end{array}\)
      • \(\boldsymbol {\rm E}(\boldsymbol {\rm U})=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} e(\lambda_i) \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right)=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} (\lambda_i-1) \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right) + O(\epsilon^2)\)
        • \(e(\lambda_i)\)近似为\((\lambda_i-1)\)
    • 如果定义两个2-tensor:
      • infinitesimal strain tensor 无穷小应变张量
        • \(\boldsymbol{\varepsilon} \overset{\rm def}{=} \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) \)
        • 如果\(\varepsilon_i\)为其特征值,则有\(\lambda_i=1+\varepsilon_i+O(\epsilon^2)\)
      • infinitesimal rotation tensor 无穷小旋转张量
        • \(\boldsymbol{\omega}\overset{\rm def}{=} \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}- \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right)\)
      • 组分为\(\varepsilon_{ij}=\frac {1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \qquad \omega_{ij}=\frac {1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)\)
      • 则有:
        • \(\boldsymbol {\rm H}=\boldsymbol{\varepsilon}+\boldsymbol{\omega}\)
        • \(\boldsymbol {\rm U}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol{\varepsilon}+O(\epsilon^2)\)
        • \(\boldsymbol {\rm V}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol{\varepsilon}+O(\epsilon^2)\)
        • \(\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol{\omega}+O(\epsilon^2)\)
      • \({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=(\boldsymbol {\rm H}+\boldsymbol {\rm I}){\rm d}\boldsymbol {\rm x}={\rm d}\boldsymbol {\rm x}+\boldsymbol{\varepsilon}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}+\boldsymbol{\omega}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}\)
        • 对比\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\),可以看到无穷小形变的线性近似下,局部变形被additively decomposed加和分解为应变和旋转;而\({\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})\)是乘积分解为应变和旋转
  • \(\boldsymbol {\rm H}(\boldsymbol {\rm x})={\rm Grad}\,\boldsymbol{\rm u}(\boldsymbol {\rm x})\)很小"可以进行线性近似,假设其他量很小也可以进行线性近似
    • e.g. 卷一张纸时:旋转量\(\boldsymbol {\rm R}\)很大,应变量\(\boldsymbol {\rm U}-\boldsymbol {\rm I}\)很小;此时可以假定\(\boldsymbol {\rm U}-\boldsymbol {\rm I}\)是一个很小量进行线性近似,而\(\boldsymbol {\rm R}\)则还是任意的