• resource
  • MIT Continuum Mechanics 连续介质力学 课程笔记，Chapter 2
    • 重要参考资料：非常详尽、非常严谨、非常简洁明了，与线代知识紧密接续
• 虽然属于连续介质力学中的内容，但本篇同MIT笔记的第2章一样，本篇只讨论变形相关的几何本身，而不涉及变形的cause成因，不涉及材料的组成材料等，只把物体假设为一般的continuum连续介质来讨论其变形的几何。

basics

• 两个向量的dot product点积
  • $\vec{a} \cdot \vec{b}$
• 两个向量的vector product向量积；叉乘
  • $\vec{a} \times \vec{b}$
• 两个向量的tensor product张量积
  • $\vec{a} \otimes \vec{b}=\vec{a} \vec{b}^{\top}$
  • e.g. $\underset{3 \times 1}{\vec{a}} \otimes \underset{3 \times 1}{\vec{b}} = \underset{3 \times 1}{\vec{a}} \quad \underset{1 \times 3}{\vec{b}^{\top}} = \underset{3 \times 3}{C}$
• 正交矩阵 -> 复数域推广 酉矩阵
• 实对称矩阵 -> 复数域推广 艾尔米特矩阵
• 矩阵的平方根
• 矩阵的极分解
• 矩阵的对数
  • 实对称矩阵的对数矩阵的表达：
    • $\ln{\boldsymbol {\rm U}}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \ln{\lambda_i} \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right)$

deformations

• deformation：形变
  • 考虑一个物体（只需要是continuum，连续介质），其中一个particle粒子 $x\in \mathcal{R}_0$，属于reference/undeformed configuration参考物体空间 $\mathcal{R}_0$
  • 考虑物体变形以后，粒子$\boldsymbol {\rm x}$的新位置：$\boldsymbol {\rm y} \in \mathcal{R}$，属于deformed configuration 变形后的物体空间 $\mathcal{R}$
  • 从 reference configuration 到 deformed configuration的 deformation 形变定义为一个映射：
    • $\boldsymbol {\rm y}=\hat{\boldsymbol {\rm y}}(\boldsymbol {\rm x})$
    • takes $\mathcal{R}_0 \rightarrow \mathcal{R}$
  • displacment vector field $\hat{u}(x)$ 定义为
    • $\hat{\boldsymbol {\rm u}}(\boldsymbol {\rm x})=\hat{\boldsymbol {\rm y}}(\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm x}$
  • 

Deformation Gradient Tensor 形变梯度张量: deformation in the neighborhood of a particle 在一个粒子邻域中的变形

• deformation gradient tensor 形变梯度张量
  • 为了考虑物体在粒子x处的state of stress应力状态等，需要考虑不仅在x处的变形，还要考虑粒子$\boldsymbol {\rm x}$的一个small neighborhood小邻域中的all particles所有粒子的变形
  • 直觉上讲：我们期望在这个局部小邻域球中的粒子经历的变形由rigid translation刚体平动、rigid rotation刚体旋转 和 "straining" “应变"组成；在后面将会准确公式化表述
  • 在一个generic粒子x处的 deformation gradient tensor形变梯度张量定义为：
    • $\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})={\rm Grad} ; \boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})$
    • 这是用于描述、研究在邻域中的变形的主要量
    • $\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})$是一个2-tensor，它的元素为：
      • $F_{ij}(\boldsymbol {\rm x})=\frac{\partial y_i(\boldsymbol {\rm x})}{\partial x_j} $
      • 是一个3x3矩阵场 $[F(\boldsymbol {\rm x})]$
• 一个infinitesimal material fiber无穷小 物质 纤维的deformation
  • 考虑两个在reference configuration中放置于$\boldsymbol {\rm x}$和$\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x}$处的两个粒子p, q；
  • 考虑包含这两个粒子的infinitesimal material fiber无穷小 物质 纤维：${\rm d}\boldsymbol {\rm x}$
  • 在deformed configuration中，这两个粒子位于$\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})$和$\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x})$处
  • 则这个infinitesimal material fiber的deformed image 像（代数中的概念）用如下 向量 描述
    • ${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})$
  • 由于这两个粒子p,q是相邻的，距离$\lVert {\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rVert$很近，因此可以用Taylor expansion泰勒展开来近似该表达式
    • ${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\left( {\rm Grad} ; \boldsymbol {\rm y} \right ) {\rm d}\boldsymbol {\rm x} + {\rm O}(\lVert {\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rVert^2) = \boldsymbol {\rm F} ; {\rm d}\boldsymbol {\rm x} + {\rm O}(\lVert {\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rVert^2)$
    • 即近似为：
      • ${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}$
    • 其组分为：
      • ${\rm d}y_i=\underset{j}{\sum} F_{ij} {\rm d}x_j$ or $\lbrace y\rbrace=[F]\lbrace x\rbrace$
    • 注意，这个近似并不需要假设梯度场的变化小；它只需要假设p和q挨得足够近
    • 即：$\boldsymbol {\rm F}$ 把 无穷小未变形物质纤维${\rm d}\boldsymbol {\rm x}$ carries into带到了它在变形configuration中的位置${\rm d}\boldsymbol {\rm y}$处
  • 
• $\boldsymbol {\rm F}$应具有的一些假设
  • 行列式不为0
    • 考虑一个物理上可实现的变形：单个物质纤维不会裂变为两个物质纤维；两个不同的物质纤维不会合并为同一个物质纤维
    • 即，${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}$需要是一个one-to-one一一映射，即$\boldsymbol {\rm F}$需要是 non-sigular非奇异矩阵：
      • $J=\det \boldsymbol {\rm F} \neq 0$
      • $J$也叫做 Jacobian determinant 雅克比行列式
  • 行列式为正值
    • 考虑三个独立物质纤维${\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(i)}, i=1,2,3$
    • 变形场 把这些纤维带到了3组位置：${\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(i)}=\boldsymbol {\rm F} {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(i)}, i=1,2,3$
    • 如果这个变形把右手组合纤维$\lbrace {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(2)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(3)} \rbrace$带到了右手组合纤维$\lbrace {\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(2)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm y}^{(3)} \rbrace$，则称这个变形被称作是preveserves orientation 定向保留的
      • 这里的orientation是群论/向量空间中的概念：定向；其实反映的是一种类似手性的概念，orientation preserving即意味着手性得到保留；
      • 镜射变换，手性就不保留；
    • 一个变形是orientation preserving的，当且仅当行列式大于0：
      • $J=\det \boldsymbol {\rm F} \gt 0$
    • 
• 变形的正式表述
  • 如上，一个粒子$\boldsymbol {\rm x}$一般的邻域粒子$\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x}$的变形正式表述为：
    • $\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x} + {\rm d}\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})+\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}$
    • 因此，想要描述粒子$\boldsymbol {\rm x}$的整个邻域的变形特征，就必须知道变形函数$\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})$和变形梯度张量$\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})$
      • 变形函数$\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})$刻画的是邻域粒子的平动
      • 变形梯度张量$\boldsymbol{\rm F}(\boldsymbol {\rm x})$刻画的是旋转和"应变”

特殊形变：一些均匀变形：纯拉伸，简单剪切变形

• homogeneous deformation 均匀变形

  • 如果一个变形的变形梯度张量在整个ref区域$\mathcal{R}_0$都是常量，那么这个变形$\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})$就是一个homogeneous deformation
  • 因为变形梯度张量是一个常量，因此这种变形可以有如下表述：
    • $\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm x} + \boldsymbol {\rm b}$
    • 其中，$\boldsymbol {\rm F}$是一个常张量，$\boldsymbol {\rm b}$是一个常向量
    • 这其实就是一个一般的仿射变换：平动，旋转，缩放，剪切

• 假设$\lbrace \boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\rbrace$ 是ref的orthonormal basis 标准正规基底；假设基底和一个单位cube的边对齐，从这个单位方出发进行变形

pure stretch 纯拉伸

• $\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm x} \qquad where \qquad \boldsymbol {\rm F}=\lambda_1 \boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1 + \lambda_2 \boldsymbol {\rm e}_2 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2 + \lambda_3 \boldsymbol {\rm e}_3 \otimes \boldsymbol {\rm e}_3$

• 在标准正规基底$\lbrace \boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\rbrace$下

  • $\boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1=\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
  • $\boldsymbol {\rm F}=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \lambda_2 & 0 \ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}$
  • $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$代表在3个基底方向上的拉压比率

• 如果$\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1$，则是isochoric等容的变形

• pure dilatation 纯膨胀

  • $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3$

• uniaxial stretch 单轴拉伸

  • $\lambda_2 = \lambda_3 =1$
  • $\boldsymbol {\rm F}=\lambda_1 \boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1 + \boldsymbol {\rm e}_2 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2 + \boldsymbol {\rm e}_3 \otimes \boldsymbol {\rm e}_3 = \boldsymbol{\rm I} + (\lambda_1-1) \boldsymbol {\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_1$
  • 在标准正规基底$\lbrace \boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\rbrace$下
    • $\boldsymbol {\rm F}=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
  • 更一般地：
    • $\boldsymbol {\rm F}= \boldsymbol{\rm I} + (\lambda_1-1) \boldsymbol {\rm n} \otimes \boldsymbol {\rm n}, \qquad \lVert \boldsymbol {\rm n} \rVert=1$

simple shearing deformation 简单剪切变形

• $\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm x} \qquad where \qquad \boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I} + k ; \boldsymbol{\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2$
• 在标准正规基底$\lbrace \boldsymbol {\rm e}_1, \boldsymbol {\rm e}_2, \boldsymbol {\rm e}_3\rbrace$下
  • $\boldsymbol{\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2=\begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
  • $\boldsymbol {\rm F}=\begin{pmatrix} 1 & k & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
• $\boldsymbol {\rm u}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm x}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm x}-\boldsymbol {\rm x}=k ; \boldsymbol{\rm e}_1 \otimes \boldsymbol {\rm e}_2 ; \boldsymbol {\rm x}=kx_2\boldsymbol {\rm e}_1$
  • 意味着 $x_2={\rm constant}$ 平面朝着 $x_1$ -方向 刚体平动，平动量为 $kx_2$
  • 把矩阵$\boldsymbol {\rm F}$中出现$k$的那个剪切量，行标的方向称为shearing direction剪切方向，列标的方向对应法向量的平面称为shearing/glide plane剪切平面
• 更一般地：
  • $\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I} + k ; \boldsymbol{\rm m} \otimes \boldsymbol {\rm n}, \qquad \lVert \boldsymbol {\rm m} \rVert=\lVert \boldsymbol {\rm n} \rVert = 1, \qquad \boldsymbol {\rm m} \cdot \boldsymbol {\rm n} = 0 $
  • $\boldsymbol {\rm m}$为剪切方向，$\boldsymbol {\rm n}$法向量对应的平面为剪切平面

一般形变：研究长度、朝向、夹角、体积、表面的改变

一个物质纤维微元的改变：长度、朝向

• 长度改变比例：$\lVert \boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert$
• 新朝向：$\frac {\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0}{\lVert \boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}$

两个物质纤维微元的改变：夹角

• 考虑由$\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)}$，$\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)}$定义的夹角
• 新夹角大小：$\cos{\theta_y}= \frac {\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)}} { \lVert \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \rVert \lVert \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)} \rVert}$

一块体积物质微元的改变：体积

• 考虑由${\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(2)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(3)}$ 定义的tetrahedron四面体
• 体积改变：${\rm d}V_y=J {\rm d}V_x \qquad where \qquad J=\det\boldsymbol {\rm F}$

📌 ⚠️ 一块表面物质微元的改变：面积，平面法向量

• 考虑由${\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(1)}, {\rm d}\boldsymbol {\rm x}^{(2)}$ 定义的parallelogram平行四边形
• 新法向量：$\boldsymbol {\rm n}=\frac {\boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0 } {\lVert \boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}$
• 面积变化比例：${\rm d}A_y={\rm d}A_x , J \lVert \boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert$
• 注意：平面法向量一般不继承变形操作
  • 变形后的平面的法向量$\boldsymbol {\rm n}$，一般不与 变形前平面法向量$\boldsymbol {\rm n}_0$变形后的向量$\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0$ 平行
  • 变形前与平面垂直的法向量$\boldsymbol {\rm n}_0$，在变形后的向量$\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0$ 一般不与 变形后的平面垂直
  • Q: 有待数学证明
    • 若要使平面法向量 处处 继承变形操作，需要对任意$\boldsymbol {\rm n}_0$满足$\boldsymbol {\rm F}^{-\top} \boldsymbol {\rm n}_0$与$\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0$方向一致；
    • $\boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} \boldsymbol {\rm n}_0=\alpha \boldsymbol {\rm n}_0$ 对于任意$\boldsymbol {\rm n}_0$均成立
    • 意味着$\boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F}$是正交矩阵？变形是homogeneous的，而且只包含旋转+等比缩放？

特殊形变：rigid deformation刚性形变

• 刚性形变的定义
  • 物体中的所有对粒子在变形后保持变形前距离
  • i.e. 任意两个粒子$\boldsymbol {\rm z}$，$\boldsymbol {\rm x}$在变形前在ref configuration中距离为$\lVert \boldsymbol {\rm z}-\boldsymbol {\rm x} \rVert$，应与变形后在deformed configuration中距离$\lVert \boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm z})-\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x}) \rVert$相等
  • $\lVert \boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm z})-\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x}) \rVert^2 = \underset{i}{\sum} \left[ y_i(\boldsymbol {\rm z}) - y_i(\boldsymbol {\rm x}) \right] \left[ y_i(\boldsymbol {\rm z}) - y_i(\boldsymbol {\rm x}) \right] = \underset{i}{\sum} (z_i-x_i)(z_i-x_i) \qquad {\rm for ; all ;} \boldsymbol {\rm x},\boldsymbol {\rm z} \in \mathcal{R}_0$
  • 上式等价于 $\boldsymbol {\rm F}^{\top}(\boldsymbol {\rm x}) \boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm z})=\boldsymbol {\rm I} \qquad {\rm for ; all ;} \boldsymbol {\rm x},\boldsymbol {\rm z} \in \mathcal{R}_0$
  • 上式等价于$\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})$是一个 常量张量 ，且是一个 旋转矩阵（proper orthogonal tensor行列式为1的正交矩阵）

• 结论：刚性形变对应的形变梯度张量是一个常旋转矩阵
  • 记对所有$\boldsymbol {\rm x} \in \mathcal{R}_0$ ，$\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm Q}$，$\boldsymbol {\rm Q}$是一个 旋转矩阵（proper orthogonal tensor行列式为1的正交矩阵）
  • 则刚性形变的形式为：
    • $\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm Q} \boldsymbol {\rm x} + \boldsymbol {\rm b}$

📌 ​一般形变：形变梯度张量 分解为 旋转矩阵 & stretch tensor

• 先前结论：
  • 形变梯度张量$\boldsymbol {\rm F}(\boldsymbol {\rm x})$完备地描述了在粒子$\boldsymbol {\rm x}$一个邻域中的变形的特征；
  • 变形的一部分是刚体旋转，另一部分是一种"distortion"/“strain”
• 对形变梯度张量进行polar decomposition 极分解
  • 定理：任何带有正值行列式的非奇异矩阵$\boldsymbol {\rm F}$可以被uniquely写作一个proper orthogonal tensor旋转矩阵$\boldsymbol {\rm R}$和一个symmetric positive definite tensor实对称正定矩阵$\boldsymbol {\rm U}$的矩阵相乘乘积
  • $\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm U}$
  • $\boldsymbol {\rm R}$代表着$\boldsymbol {\rm F}$的刚体旋转的部分，$\boldsymbol {\rm U}$代表着$\boldsymbol {\rm F}$的非旋转的部分
  • $\boldsymbol {\rm U}$如此给出：$\boldsymbol {\rm U}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} }$
  • $\boldsymbol {\rm R}$如此给出：$\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}^{-1}$
  • 考虑一个fiber纤维的形变表达式为${\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow {\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm F}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}$，也可以写作
    • ${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})$
    • 即这个纤维可以被看做 首先经过变形$\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}$，再经过刚体旋转$\boldsymbol {\rm R}$
    • ${\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})={\rm d}\boldsymbol {\rm y}$
• right stretch tensor右拉伸张量 $\boldsymbol {\rm U}$ 的性质
  • symmetric对称
    • 有3个实数特征值$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$；
    • 有和3个特征值相对应的三元组orthonormal正规特征向量$\boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3$
  • positive definite 正定
    • 3个特征值均为正数
  • 在基底/主方向$\lbrace \boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3 \rbrace$ 下的表示
    • $[\boldsymbol {\rm U}]=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \lambda_2 & 0 \ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}, \qquad \lambda_i \gt 0$
    • 因此对于 ${\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}$，意味着纤维${\rm d}\boldsymbol {\rm x}$ 被tensor $\boldsymbol {\rm U}$ 在 $\boldsymbol {\rm U}$ 的principle directions 被拉伸，拉伸的量取决于每个方向的corresponding eigenvalues相应的特征值
    • 注意：只有在$\boldsymbol {\rm U}$的主方向表示$\boldsymbol {\rm U}$才是纯拉伸；在一般情况下表示$\boldsymbol {\rm U}$，既包含拉伸又包含剪切；不过拉伸的量仍然是由特征值定义；具体见 [strains 应变](#strains 应变) 章节
  • 因为${\rm d}\boldsymbol {\rm x}$方向一般不与 ${\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}$ 平行，因此纤维在进行${\rm d}\boldsymbol {\rm x} \rightarrow \boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}$也带有旋转；但这种旋转不是一种刚体旋转，因为纤维的长度也发生了变化
• left stretch tensor左拉伸张量$\boldsymbol {\rm V}$
  • 极分解有一种alternative version：
    • $\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm V}\boldsymbol {\rm R}$
    • $\boldsymbol {\rm V}$如此给出：$\boldsymbol {\rm V}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top} }$
    • $\boldsymbol {\rm R}$如此给出：$\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm V}^{-1}\boldsymbol {\rm F}$
    • $\boldsymbol {\rm R}$与$\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm U}$中的$\boldsymbol {\rm R}$ identical 完全一样
      • $\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm V}^{-1}\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}^{-1}$，故有$\boldsymbol {\rm V}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}\boldsymbol {\rm F}^{-1}$
  • 一个一般未变形纤维${\rm d}\boldsymbol {\rm x}$的形变也可以看做
    • ${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm V}(\boldsymbol {\rm R}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})$
    • 首先经过刚体旋转$\boldsymbol {\rm R}$，再经过$\boldsymbol {\rm V}$的stretching
  • $\boldsymbol {\rm V}$与$\boldsymbol {\rm U}$性质相似：
    • 有3个正实数特征值$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$及对应的特征向量 $\boldsymbol {l}_1, \boldsymbol {l}_2, \boldsymbol {l}_3$，组成主基底$\lbrace \boldsymbol {l}_1, \boldsymbol {l}_2, \boldsymbol {l}_3 \rbrace$
• $\boldsymbol {\rm U}$、$\boldsymbol {\rm V}$、$\boldsymbol {\rm F}$、$\boldsymbol {\rm R}$的联系
  • $\boldsymbol {\rm U}$和$\boldsymbol {\rm V}$的三个特征值$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$一模一样；又被称作principle stretches 主拉伸，意味着在$\boldsymbol {\rm x}$处的变形
  • $\boldsymbol {\rm U}$的特征向量与$\boldsymbol {\rm V}$的特征向量的联系：$\boldsymbol {l}_i=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm r}_i, i=1,2,3$
  • $\boldsymbol {\rm U}$和$\boldsymbol {\rm V}$用其特征向量表示：
    • $\boldsymbol {\rm U}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \qquad \boldsymbol {\rm V}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {l}_i$
  • $\boldsymbol {\rm F}$、$\boldsymbol {\rm R}$也可以用$\boldsymbol {\rm U}$和$\boldsymbol {\rm V}$的特征向量表示
    • $\boldsymbol {\rm F}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \qquad \boldsymbol {\rm R}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i$
• $\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm R}\boldsymbol {\rm U}$ 代入 章节 一般形变：研究长度、朝向、夹角、体积、表面的改变 中的每一项，我们可以得到：
  • 只依赖于stretch tensor $\boldsymbol {\rm U}$：
    • 纤维长度改变 ${\rm d}s_y={\rm d}s_x \sqrt{ \boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0 \cdot \boldsymbol {\rm n}_0 }$
    • 夹角改变 $\cos{\theta_y}=\frac {\boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}} {\sqrt{\boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(1)}} \sqrt{\boldsymbol {\rm U}^2\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}}}$
    • 体积改变 ${\rm d}V_y={\rm d}V_x \det{\boldsymbol {\rm U}}$
    • 表面面积改变 ${\rm d}A_y={\rm d}A_x (\det{\boldsymbol {\rm U}}) \lVert \boldsymbol {\rm U}^{-1} \boldsymbol {\rm n}_0 \rVert$
  • 同时依赖于stretch tensor $\boldsymbol {\rm U}$ 和旋转矩阵$\boldsymbol {\rm R}$
    • 纤维朝向改变：$\boldsymbol {\rm n}=\boldsymbol {\rm R} \frac {\boldsymbol {\rm U}\boldsymbol {\rm n}_0} {\lVert \boldsymbol {\rm U}\boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}$
    • 表面法向量改变：$\boldsymbol {\rm n}=\boldsymbol {\rm R} \frac {\boldsymbol {\rm U}^{-1}\boldsymbol {\rm n}_0} {\lVert \boldsymbol {\rm U}^{-1}\boldsymbol {\rm n}_0 \rVert}$
• 逆变形：left stretch tensor 左拉伸张量 $\boldsymbol {\rm V}$ 可以帮助我们计算从deformed configuration到ref configuration的变形
  • 从 ${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm V}(\boldsymbol {\rm R}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})$ 推出 ${\rm d}\boldsymbol {\rm x}=\boldsymbol {\rm R}^{-1}(\boldsymbol {\rm V}^{-1}{\rm d}\boldsymbol {\rm y})$
  • 把$\boldsymbol {\rm R}^{-1}$看做"$\boldsymbol {\rm R}$"，把$\boldsymbol {\rm V}^{-1}$看做"$\boldsymbol {\rm U}$"，之前的结论都可以顺带推出
  • 可以这样思考：
    • right stretch tensor$\boldsymbol {\rm U}$ 是从reference 到 deformed ，可以看做为Lagrangian stretch tensor 拉格朗日拉伸张量
    • left stretch tensor$\boldsymbol {\rm V}$ 是从deformed 到 reference ，可以看做为Eulerian stretch tensor 欧拉拉伸张量
• Cauchy-Green deformation tensor柯西-格林变形张量
  • 由于$\boldsymbol {\rm U}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} }$和$\boldsymbol {\rm V}=\sqrt{ \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top} }$的计算非常tedious繁琐；
    由于$\boldsymbol {\rm U}$和$\boldsymbol {\rm U}^2$之间是一一映射；
    可以利用$\boldsymbol {\rm U}^2$和$\boldsymbol {\rm V}^2$作为stretch 的一种measure评估
  • $\boldsymbol {\rm C}=\boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm U}^2 \qquad \boldsymbol {\rm B}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top}=\boldsymbol {\rm V}^2$
    • 分别为右柯西格林形变张量、左柯西科林形变张量
    • $\boldsymbol {\rm C}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i^2 \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right) \qquad \boldsymbol {\rm B}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} \lambda_i^2 \left( \boldsymbol {l}_i \otimes \boldsymbol {l}_i \right)$

strains 应变

• strains应变与deformation形变的联系
  • $\boldsymbol {\rm U}$和$\boldsymbol {\rm V}$刻画了变形中的non-rigid part 非刚体变形的部分；
  • 考虑：如果deformed configuration coincide with reference configuration （即二者相同）
    • 那么变形表达为$\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x}) \equiv \boldsymbol {\rm x}$
    • 那么$\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I}, \quad \boldsymbol {\rm U}=\boldsymbol {\rm V}=\boldsymbol {\rm I}$
  • 考虑：应变 一般/习惯上 在 reference configuration中vanish消失（i.e. 在未变形空间中，应变一般为零）
  • 上述即为stretch和strain的唯一有必要的区别；
  • 因此，我们在 选择应变的评估方法 时，基于这个原则即可
    • 比如$\boldsymbol {\rm U}-\boldsymbol {\rm I}$就是一种合适的 应变评估方法 ；它在ref configuration中为零矩阵
• 几种不同的Lagrangian strain拉格朗日应变评估张量
  • Green strain 格林应变：$\frac {1}{2}(\boldsymbol {\rm U}^2-\boldsymbol {\rm I})$
    generalized Green strain 广义格林应变：$\frac {1}{m}(\boldsymbol {\rm U}^m-\boldsymbol {\rm I})$
    Hencky strain / logarithmic strain 对数应变：$\ln{\boldsymbol {\rm U}}$
  • 这些应变评估张量都是右拉伸$\boldsymbol {\rm U}$的一一映射；所以都是equivalent等价的
  • 这些应变评估张量的的principle directions主方向都和$\boldsymbol {\rm U}$的一样，即$\lbrace \boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3 \rbrace$
  • 这些应变评估张量对应的principle strain 主应变为：
    $\frac {1}{2}(\lambda_i^2-1)$
    $\frac {1}{m}(\lambda_i^m-1)$
    $\ln{\lambda_i}$
  • 注意：几种应变评估张量在选择的时候，并没有统一的偏好；往往对于特定材质、特定应变种类才有对某种应变评估张量的偏好
  • 几种不同的Eularian strain欧拉应变评估张量：与Lagrangian strain相似
    • Almansi strain 阿尔曼西应变：$\frac {1}{2}(\boldsymbol {\rm I}-\boldsymbol {\rm V}^{-2})$
      generalized Almansi strain 广义阿尔曼西应变：$\frac {1}{m}(\boldsymbol {\rm I}-\boldsymbol {\rm V}^{-m})$
      logarithmic strain 对数应变：$\ln{\boldsymbol {\rm V}}$
    • 这些应变评估张量的principle directions主方向都和$\boldsymbol {\rm V}$的一样，即$\boldsymbol {l}_1, \boldsymbol {l}_2, \boldsymbol {l}_3$
• 更广义、一般化的的Lagrangian strain tensor拉格朗日应变张量$\boldsymbol {\rm E}(\boldsymbol {\rm U})$
  • 让$e(\cdot)$为一个/任意的在$(0,\infty)$定义的标量值函数，它满足以下条件：
    • $\begin{array}{l} \text{(a)} & e(1)=0 \ \text{(b)} & e’(1)=1 \ \text{(c)} & e’(\lambda) \gt 0 & \text{for all}, \lambda \gt 0 \end{array}$
      • (a) 用来保证如果deformed 和reference coincide，vanish (i.e. $\boldsymbol {\rm E}=\boldsymbol {\rm O}$ )
      • (b) 用来使$\boldsymbol {\rm E}(\boldsymbol {\rm U})$适用于经典的infinitesimal strain tensor 无穷小应变张量的理论 见章节 [liearization 线性化近似 （无穷小形变张量）](#linearization 线性化近似 （无穷小形变张量）)
      • (c) 用来保证主应变 $e(\lambda_i)$ 随相应的主拉伸 $\lambda_i$单调递增
  • 则可以用特征向量$\boldsymbol {\rm r}_i$和对应的特征值$e(\lambda_i)$来构造拉格朗日应变张量：
    • $\boldsymbol {\rm E}=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} e(\lambda_i) \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right)$
• 应变张量的物理意义
  • 物理意义：
    • diagonal components / normal components of 应变 $\boldsymbol {\rm E}$：
      对角线上的元素$E_{11}, E_{22}, E_{33}$描述的是正应变（应变的正分量）
    • off-diagonal components / shear components of 应变$\boldsymbol {\rm E}$：
      非对角线上的元素$E_{12}, E_{23}, E_{31}$描述的是切应变（应变的剪切分量）
  • 由于$\boldsymbol {\rm E}$ 是对称矩阵，它有principle basis 主基底，事实上就是$\boldsymbol {\rm U}$的主基底$\lbrace \boldsymbol {\rm r}_1, \boldsymbol {\rm r}_2, \boldsymbol {\rm r}_3 \rbrace$
    • 在主基底下，矩阵变为对角矩阵，即shear components剪切应变vanish消失（i.e.为零），normal components即为principle strains
  • 以格林应变张量举例说明：
    • $\boldsymbol {\rm E}=\frac {1}{2}\left(\boldsymbol {\rm U}^2-\boldsymbol {\rm I}\right)=\frac {1}{2} \left( \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F} - \boldsymbol {\rm I} \right)=\frac {1}{2} \left( {\rm Grad},\boldsymbol{\rm u} + ({\rm Grad},\boldsymbol{\rm u})^{\top} + ({\rm Grad},\boldsymbol{\rm u})^{\top}{\rm Grad},\boldsymbol{\rm u} \right)$
      • 其中，$\boldsymbol {\rm u}$是displacement vector
      • $\boldsymbol {\rm E}$的组分为：$E_{ij}=\frac {1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} + \frac{\partial u_k}{\partial x_j} \frac{\partial u_k}{\partial x_j} \right)$
    • 纤维长度改变量代入得：${\rm d}s_y={\rm d}s_x \sqrt{1 + 2 \boldsymbol {\rm E}\boldsymbol {\rm n}_0 \cdot \boldsymbol {\rm n}_0 }$
      • 即 $\frac{ {\rm d}s_y-{\rm d}s_x}{ {\rm d}s_x} =\sqrt{1 + 2 \boldsymbol {\rm E}\boldsymbol {\rm n}_0 \cdot \boldsymbol {\rm n}_0 } - 1$
      • 上式刻画了对于 任意 纤维方向$\boldsymbol {\rm n}_0$ 的长度相对改变量
      • 假设特例：$\boldsymbol {\rm n}_0=\boldsymbol {\rm e}_1$
        • 则有$\frac{ {\rm d}s_y-{\rm d}s_x}{ {\rm d}s_x} =\sqrt{1 + 2 E_{11} } - 1$
        • 可见对于一般情况，应变的normal components $E_{11}, E_{22}, E_{33}$ 描述的是坐标方向$x_1, x_2, x_3$的长度变化
    • 夹角改变代入得：$\cos{\theta_y}=\frac {(1 + 2 \boldsymbol {\rm E}\boldsymbol) \boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}} {\sqrt{(1 + 2 \boldsymbol {\rm E})\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(1)}} \sqrt{(1 + 2 \boldsymbol {\rm E})\boldsymbol {\rm n}_0^{(2)} \cdot \boldsymbol{\rm n}_0^{(2)}}}$
      • 假设特例：$\boldsymbol {\rm n}_0^{(1)}=\boldsymbol {\rm e}_1, \quad \boldsymbol {\rm n}_0^{(2)}=\boldsymbol {\rm e}_2$
        • 则有$\cos{\theta_y}=\frac {2 E_{12}} {\sqrt{1+2E_{11}} \sqrt{1+2E_{22}}}$
        • 角度改变，取决于切应变$E_{12}$和正应变$E_{11}, E_{22}$

linearization 线性化近似 （无穷小形变张量）

• displacement gradient tensor 位移梯度张量
  • displacement vector 位移向量定义为：
    • $\boldsymbol {\rm u}(\boldsymbol {\rm x})=\boldsymbol {\rm y}(\boldsymbol {\rm x})-\boldsymbol {\rm x}$
  • 位移梯度张量定义为：
    • $\boldsymbol {\rm H}(\boldsymbol {\rm x})={\rm Grad},\boldsymbol{\rm u}(\boldsymbol {\rm x})$
    • 组分为：$H_{ij}(\boldsymbol {\rm x})=\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$
    • $\boldsymbol {\rm H}=\boldsymbol {\rm F}-\boldsymbol {\rm I}$
• 在"$\boldsymbol {\rm H}$ 很小"的特例情况下，$\boldsymbol {\rm U}, \boldsymbol {\rm V}, \boldsymbol {\rm R}, \boldsymbol {\rm E}$ 用 $\boldsymbol {\rm H}$ 进行线性化近似表述
  • 前面的$\boldsymbol {\rm U}, \boldsymbol {\rm V}, \boldsymbol {\rm R}, \boldsymbol {\rm E}$ 都是用$\boldsymbol {\rm F}$ 表示
  • 这里假定"$\boldsymbol {\rm H}$ 很小"意味着$\lVert \boldsymbol {\rm H} \rVert$很小
  • set $\lVert \boldsymbol {\rm H} \rVert = \epsilon$，当$\epsilon \rightarrow 0$时
    • $\begin{array} \boldsymbol {\rm U}^2 = \boldsymbol {\rm F}^{\top}\boldsymbol {\rm F}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} + O(\epsilon^2) \ \boldsymbol {\rm V}^2= \boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm F}^{\top}= \boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} + O(\epsilon^2) \ \boldsymbol {\rm U}=\sqrt{\boldsymbol {\rm U}^2}=\boldsymbol {\rm I}+ \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) + O(\epsilon^2) \ \boldsymbol {\rm V}=\sqrt{\boldsymbol {\rm V}^2}=\boldsymbol {\rm I}+ \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) + O(\epsilon^2) \ \boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm F}\boldsymbol {\rm U}^{-1}=\boldsymbol {\rm I}+ \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}- \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) + O(\epsilon^2) \end{array}$
    • $\boldsymbol {\rm E}(\boldsymbol {\rm U})=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} e(\lambda_i) \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right)=\overset{3}{\underset{i=1}{\sum}} (\lambda_i-1) \left( \boldsymbol {\rm r}_i \otimes \boldsymbol {\rm r}_i \right) + O(\epsilon^2)$
      • $e(\lambda_i)$近似为$(\lambda_i-1)$
  • 如果定义两个2-tensor：
    • infinitesimal strain tensor 无穷小应变张量
      • $\boldsymbol{\varepsilon} \overset{\rm def}{=} \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}+ \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right) $
      • 如果$\varepsilon_i$为其特征值，则有$\lambda_i=1+\varepsilon_i+O(\epsilon^2)$
    • infinitesimal rotation tensor 无穷小旋转张量
      • $\boldsymbol{\omega}\overset{\rm def}{=} \frac{1}{2} \left( \boldsymbol {\rm H}- \boldsymbol {\rm H}^{\top} \right)$
    • 组分为$\varepsilon_{ij}=\frac {1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \qquad \omega_{ij}=\frac {1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$
    • 则有：
      • $\boldsymbol {\rm H}=\boldsymbol{\varepsilon}+\boldsymbol{\omega}$
      • $\boldsymbol {\rm U}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol{\varepsilon}+O(\epsilon^2)$
      • $\boldsymbol {\rm V}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol{\varepsilon}+O(\epsilon^2)$
      • $\boldsymbol {\rm R}=\boldsymbol {\rm I}+\boldsymbol{\omega}+O(\epsilon^2)$
    • ${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=(\boldsymbol {\rm H}+\boldsymbol {\rm I}){\rm d}\boldsymbol {\rm x}={\rm d}\boldsymbol {\rm x}+\boldsymbol{\varepsilon}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}+\boldsymbol{\omega}{\rm d}\boldsymbol {\rm x}$
      • 对比${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})$，可以看到无穷小形变的线性近似下，局部变形被additively decomposed加和分解为应变和旋转；而${\rm d}\boldsymbol {\rm y}=\boldsymbol {\rm R}(\boldsymbol {\rm U}{\rm d}\boldsymbol {\rm x})$是乘积分解为应变和旋转
• “$\boldsymbol {\rm H}(\boldsymbol {\rm x})={\rm Grad},\boldsymbol{\rm u}(\boldsymbol {\rm x})$很小"可以进行线性近似，假设其他量很小也可以进行线性近似
  • e.g. 卷一张纸时：旋转量$\boldsymbol {\rm R}$很大，应变量$\boldsymbol {\rm U}-\boldsymbol {\rm I}$很小；此时可以假定$\boldsymbol {\rm U}-\boldsymbol {\rm I}$是一个很小量进行线性近似，而$\boldsymbol {\rm R}$则还是任意的